电动力学习题课1.doc

如果发现公式打不开，请下载 mathtype，就可看到 下载地址 http://10.64.130.17:82/ 数学预备知识 一、矢量 1. 矢量定义：在三维欧几里德空间中，矢量是具有大小与方向且满足一定规则的实体用带 r 箭头的字母表示 a 。 矢量和满足以下规则： r r r r r r 交换率： a +b =b +a ( r ) r ( r r 结合律： a +b +c =a + b +c ) 2. 矢量的分量形式 ) ) ) 三维空间迪卡儿坐标系 x, y, z 中，选择一组正交标准化基 ex, ey , ez 分别为 x, y, z 单位矢量。 r ) ) ) a =axex +ayey +azez 3. 矢量乘法 在三维空间中定义了两个乘法操作。 r r 点积：定义 a × b =axbx +ayby +azbz i j k r r 叉积：定义 a ´ b = ax ay az bx by bz 对于三个矢量，三维空间中定义了复合乘法操作 ax ay az 三重标积（混合积） A× (B´ C ) = bx by bz cx cy cz r r r r r r r r r r r r A×(B ´ C ) =B ×(C ´ A) =C ×( A´ B) r r r r r r r r r =- B ×A´ C =C ×B ´ A =A×C ´ B ( ) r ( r r ( ) ( ) ( r r r (A×B)C r r ) C B三重矢积 A´ B ´ C = A× ( r ) r r r r r 4. 位置矢量，位移矢量，间距矢量，位置矢量 r ) ) ) 位置矢量： r =xex +yey +zez r 距离： r = r = r r r ) (A´ B)´ C 三重矢积没有乘法交换率 A´ B ´ C ¹ r ×r = x2 +y2 +z2 r r r 方向的单位矢量 er = r r ) r r ) ) ) 无限小位移矢量： dl =dr =dxex +dyey +dzez r r r ) ) ) 间距矢量： R =r - r ' =(x - x')ex +( y - y')ey +(z - z')ez r r r 为场点（field point 观察点）的位置矢量， r '为源点（source point）的位置矢量。 r R = (x - x') +( y - y') +(z - z') 2 2 2 二、 dij ,eijk dij 称为 kronecker delta ) ) if i = j if i ¹ j ì1 î0 dij =ei ×ej =í r r ) ) ) ) Bj ej =å AB ej =å AB åij Ae i i× i j ei × i jdij ij ij 性质： A×B = eijk 称为 Levi-civita symbol 或 Levi-civita tensor if ijk =123 231 312 ì1 ) ) ï eijk =ei ×(ej ´ ek ) =í - 1 if ijk =132 213 321 ï0 otherwise î r r r 性质： A×B ´ C =å Ae (Bj ej ´ Ckek ) =å eijk AB (ej ´ ek ) =å eijk AB i i× i j Ckei × i j Ck ) ( ) ijk ) ) ijk åk eijkek 1. 简单表示右手系中基矢量的矢积： ei ´ ej = 2. 任意两个下标互换，差异负号，如 eijk =- eikj 3. 单重求和（对重复下标求和） eijkemnk =dimd jn - dind jm = 4. 两重求和 dim din d jm d jn ) ijk eijkemjk =dimd jj - dind jm =3dim - dim =2dim 5. 三重求和 eijkeijk =2dii =6 三、场的微分运算 所谓场，就是在空间不同点上会取不同志的一种物理量。例如，温度就是一种场——这种 情况下是一种标量场。 标量场：指空间一点对应值为标量，写成 f (x, y, z) r 矢量场：指空间一点对应值为矢量，写成 f (x, y, z) 矢量场可用一组箭头来表达，每支箭头的大小和方向为画出箭头那一点上的矢量场之值。 对于一个场，不管是矢量场还是标量场，我们如何来瞄述场随空间的变化呢？我们是否也能 求场对 x, y, z 的偏导来反映空间中一点与周围点的关系呢？ 对于标量场我们可以用场分别对 x, y, z 的偏导组成的矢量来瞄述空间中一点与周围点的关 系，我们称之为梯度。 图表 1 矢量图 图表 2 标量图 grad f = ¶f ) ¶f ) ¶f ) ex + ey + ez 它是一个矢量，梯度的几何意义是指向函数 f 的最大变化 ¶x ¶y ¶z 率方向，大小即为函数变化率。 grad f 可以简化为 grad f = 我们把 ¶f ) ¶f ) ¶f ) æ¶ ) ¶) ¶) ö ex + ey + ez =ç ex + ey + ez ÷f ¶x ¶y ¶z ¶y ¶z ø è¶x ¶) ¶) ¶) ex + ey + ez 简写成 Ñ ¶x ¶y ¶z Ñ 称为 Del，或矢量微分算符 对于矢量场我们比较关心闭合曲面的流量即散度，和绕行一闭合曲线的环流即旋度。 r 散度 Ñ×f r 旋度 Ñ´ f 例题 æ¶ ¶ ¶ ö Ñr =ç , , ÷ x2 +y2 +z2 è¶x ¶y ¶z ø 1. r æx y z ö r ) =ç , , ÷= =er èr r r ø r 2 æ¶ ¶ ¶ ö 2 , , ÷(x +y2 +z2 ) =(2x,2y,2z) è¶x ¶y ¶z ø 2. Ñr =ç 利用复合函数求导能简化求导过程 r r r r df df df Ñf (r ) = Ñr ， Ñf (r ) =(Ñr )× ， Ñf (r ) =(Ñr )´ dr dr dr 2 设 r = f (r ) r Ñr 2 =2rÑr =2r r r 3. Ñ =- 2 Ñr =- 2 er =- 3 r r r r 1 1 1) æ¶ ¶ ¶ ö Ñr =ç , , ÷ x2 +y2 +z2 è¶x ¶y ¶z ø 4. r æx y z ö r ) =ç , , ÷= =er èr r r ø r æ¶ ¶ ¶ ö , , ÷×(x, y, z) =3 è¶x ¶y ¶z ø r 5. Ñ× r =ç i r 6. Ñ´ r = j k ¶ ¶ ¶ ¶x ¶y ¶z x y z 四、 矢量乘积的梯度，散度，旋度 首先，如何展开 r ¶ ¶ ¶ Ñ×j f = (j fx ) + (j fy )+ (j fz ) ¶x ¶y ¶z ¶j ¶ ¶j ¶ ¶j ¶ = ( fx ) +j ( fx )+ ( fy )+j ( fy )+ ( fz )+j ( fz ) ¶x ¶x ¶y ¶y ¶z ¶z ( ) é¶j ù é ¶ ù ¶j ¶j ¶ ¶ =ê ( fx ) + ( fy )+ ( fz )ú+êj ( fx )+j ( fy )+j ( fz )ú ¶y ¶z ¶y ¶z ë¶x û ë ¶x û =(Ñj )×f +j (Ñ×f ) 事实上，我们不必这样用分量展开 Ñ 算符在方向关系上是一个矢量，所以他的运算具有矢量的特点而 Ñ 不同与普通矢量，它 是微分算符，所以我们在其运算中考虑到微分运算的特点，不能把它与普通矢量任意对调位 置。 r 分 分 Ñ分 分 分 分 r r Ñ×j f Ñj ×j f +Ñ fr ×j f r r =Ñj ×j f +Ñ fr ×j f r r =(Ñj j )×f +j Ñ fr ×f ( ) ( ) ( ) r r r Ñ´ j f =Ñj ´ j f +Ñ fr ´ j f r r =(Ñj j )´ f +j Ñ fr ´ f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r r Ñ f ×g =Ñ gr f ×g +Ñ fr f ×g r r r r r r r r = f ´ (Ñ gr ´ g)+ f ×Ñ gr g +g ´ Ñ fr ´ f + g ×Ñ fr f ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Tips 1) 首先去除 Ñ 的微分性质 r r Ñ 一定要放在要作用的函数之前（如 Ñ fr ´ f 正确 f ´ Ñ fr 错误） 2) 二重算符的作用 梯度的散度 Ñ×Ñ ( f) 梯度的旋度 Ñ´ (Ñf ) 散度的梯度 r Ñ Ñ×f 旋度的散度 r Ñ×Ñ´ f 旋度的旋度 r Ñ´ Ñ´ f ( ) ( ) ( ) æ¶ ¶ ¶ ö æ¶ ¶ ¶ ö Ñ×Ñ × f, f, f ÷ ( f ) =ç , , ÷ç è¶x ¶y ¶z ø è¶x ¶y ¶z ø ¶2 ¶2 ¶2 1） = 2 f+ 2 f+ 2 f ¶x ¶y ¶z æ¶2 ¶2 ¶2 ö =ç 2 + 2 + 2 ÷f è¶x ¶y ¶z ø æ¶2 ¶2 ¶2 ö 2 ç 2 + 2 + 2 ÷=Ñ×Ñ 称为 laplacian 算符，简写为 Ñ è¶x ¶y ¶z ø 2） Ñ´ (Ñf ) =(Ñ´ Ñ ) f 3） Ñ (Ñ×f ) 不常用 ( r ) r ( r r 4） Ñ×Ñ´ f =(Ñ´ Ñ ) f ) ( ) r ( r ) r 5） Ñ´ Ñ´ f =Ñ Ñ×f - (Ñ× Ñ ) f =Ñ Ñ×f - Ñ f r 例 A 为任意矢量 1) r r r æ ¶ ¶ ¶ö +Ay +Az ÷(x, y, z) =A ¶y ¶z ø è ¶x (A×Ñ)r =çAx 2 r ¶ ¶ ¶ö +A +A (A×Ñ)r =æ çA ÷ x +y +z ¶y ¶z ø è ¶x 2) 2 x y 2 2 z 3) r æ ö (A´ Ñ)´ rr =çå A e) ´ å ¶ e) ÷´ rr i i j j j èi ø æ ) ) ö r =çå A i ei ´ ¶j ej ÷´ r è ij ø æ ) ) ö r =çå (A i ¶j )(ei ´ ej )÷´ r è ij ø æ ) ö r =çå eijk (A i ¶j )ek ÷´ r è ijk ø æ ) ö ) =çå eijk (A i ¶j )ek ÷´ å re l l è ijk ø l ) ) =å eijk (A i ¶j rl )(ek ´ el ) ijkl ) =å eijkeklm (A i ¶j rl )em ijklm ) =å å eijkeklm (A idlj )em ijkm l ) =- å å A ieijkemjkem im jk Q å eijkemjk =2dim jk r ) ) =- å A i 2dimem =- å 2A i ei =- 2A im i 四、 并矢 rr ab 两个矢量并写在一起，称为并矢。我们为何要引入并矢这个概念呢？这是因为许多物理 与力学问题难以用矢量来表示。 先看一个例子： r r r 要描述一变形物体内应力对截面的拉伸作用就必须考虑 f 对 n 的投影矢量用 Pr ojn f 表示 r r r r r r r Pr ojn f = f ×n n =n n×f r rr rr r ¾¾ ® f ×nn or nn×f rr nn 就被称为并矢。 rr )) 两阶并矢的定义为 ab =å ab i j ee i j ( ) ( ) (i, j =123) ij 除交换率外，并矢服从初等代数的运算规律 r r r (r ) r r rr ( ) 结合律： m ab =(ma)b =a mb =mab rr r rr r ( ) ( ) ab ×c =a ×bc r r r ( rr ) rr 分配率： a b +c =ab +ac rr rr 但 ab =ba )) åi ee i i ，任何一并矢都在单位并矢所长成的空间中 单位并矢 I = r r r I ×a =a ×I =a 并矢的散度与旋度 rr rr rr Ñ×ab =Ñar ×ab +Ñbr ×ab r r r r =(Ñar ×a)b +(Ñbr ×a)b r r r r =(Ñar ×a)b +(a ×Ñbr )b ( ) ( ) ( ) 并矢的积分变换公式 高斯公式： Ñ òV dtÑ×T =Ñ òs dS ×T ur rr ) åi ab i j ei 证： T =ab ， T j = ) ) ur ) Ñ ò dtÑ×T =Ñ ò dt å ¶iTij ej =å ej Ñ ò dt å ¶iTij =å ej Ñ ò dtÑ×T j V V ij V j r ur r ) =å ej Ñ ds ò ×T j =Ñ òds ×T s j i j V s 也就是说并矢的高斯公式也就是三个不同方向矢量的高斯公式 斯托克斯公式： 证： r ( ) r òds ×Ñ´ T =Ñ òdl ×T S l r ( ) ur ) ö r æ r ) ( ur ) r ur ) ç å T j ej ÷=å ej òds ×Ñ´ T j =å ej Ñ òds ×Ñ´ T =òds ×Ñ´ òdl ×T j S S r =Ñ dl ò ×T l è j ø j S j l