防灾科技学院2007—2008第二学期高等数学检测试卷答案及评分标准.doc
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姓名： 学号： 班级： 试卷序号： | | | | | | | | 装 | | | | | 订 | | | | | | A、 dz (0,0) 2dx 3dy。 防灾科技学院 2007~ 2008 学年 二 三 四 五 六 z f (x, y) 在点 (0,0, f (0,0)) 的切向量为（1，0，2） y 0 D、曲线 总分 2 A、极大值 填空题（本大题 5 小题，每 4 分，共 20 分） D 2 （ B ） 2、 曲线 x sint, y cost, z t 在 t 2 A C 2 D、非极值 2 2 B、若 f (x, y) f (x, y), f (x, y) f (x, y) ，则 处的切线方程是 x 1 y 0 1 1 0 x2 0 D、若 f (x, y) f (x, y), f (x, y) f (x, y) ，则 1 y dx f (x, y)dy ， dy f (x, y)dx 解： 单项选择题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 分 / 1、函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数 f x (x0 , y0 ).f y (x0 , y0 ) 存在是它在该 点可微的（ A ）。 A、必要而非充分条件；B、充分而非必要条件；C、非必要也非充分条件；D、充要条件 / 2、设函数 z f (x, y) 在点（0，0）附近有定义，且 f x (0,0) 2, f y (0,0) 3，则，（D） 1 阅卷教师 得 分 （本大题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分。） 2z 1、已知 z xln(x y) ，求 xy y / f (x, y)dxdy 4 f (x, y)dxdy D D ，该 f (x, y)dxdy的两个累次积分： D / f (x, y)dxdy 4 f (x, y)dxdy D D 1 三 2 f (x, y)dxdy 4 f (x, y)dxdy D D C、若 f (x, y) f (x, y), f (x, y) f (x, y) ，则 1 3 5、 D 是由 y x 及 y x 围成的区域，写出二重积分 x f (x, y)dxdy 4 f (x, y)dxdy D D 1 z 2 点处各方向导数中的最大值是 17 ； 1 ） 1 2 2 B A、若 f (x, y) f (x, y), f (x, y) f (x, y) ，则 ； 4、 函数 f (x, y, z) x 2xyz y z 在点（1，1，1）处的梯度= （4，0，-1） 得 C、不能确定 在 D 上连续时，下列论述中正确的是：（ 3、 曲面 z x y 平行于平面 x 2y z 1的切平面方程是 x 2 y z 5 4 阅卷教师 B、极小值 4、设平面区域 D 由曲线 x y 1围成，并记 D1 为 D 在第一象限的部分；当函数 f (x, y) 分 1、 有关多元函数的性质：（A）连续；（B）可微分；（C）可偏导；（D）各偏导数连续， 它们的关系是怎样的？若用记号“ X Y ”表示由 X 可推得 Y，则 二 2 3、设 f (x, y) x xy y 的驻点为（0，0），则 f (0,0) 是 f (x, y) 的（ D ）。 阅卷教师 得 线 | | | | | | | | | 一 C、曲线 答题时间 120 分钟 班级 本科各专业 得分 一 z f (x, y) 在点 (0,0, f (0,0)) 的切向量为（0，1，2）。 y 0 第二学期检测考试试卷（答案及评分标准） 高等数学试卷（A） 题号 B、曲面 z f (x, y) 在点 (0,0, f (0,0)) 的法向量为（2，3，-1）。 z x ln(x y) x x y 或（ z 1 ）…………………… ③ x y x y 2 z 1 x xy x y (x y)2 …………………… ② y (x y)2 …………………… ① 姓名： 学号： 班级： 试卷序号： 2 、 | | | | | | | | 装 | | | | | 订 | | | | | | 线 | | | | | | x z yf(xy, ) ，且 f 具有连续的一阶偏导数， 求 z , z y x y 解： 四 得 z x x 1 y[ f1/ (xy, ) y f2/ (xy, ) ] …………② x y y y x y x y f1/ (xy, ) y2 f2/ (xy, ) （本大题共 2 题，每题 7 分，共 14 分。） 阅卷教师 分 e D 1、计算二重积分 …………① 2 解： 2 2 (x y ) d 4 e( x2 y2 ) dxdy （D 为 D 在第一象限的部分） 1 e D z x x x x f (xy. ) y[ f1/ (xy, )x f2/ (xy, ) 2 ] …………② y y y y y x y x y 2 (x y ) d ， D : x2 y2 4 D1 x x …………① y y f (xy. ) f1/ (xy, )xy f2/ (xy, ) 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 d e d ）……………③ 4d e d 或 （ 1 2 4 e 02 2 2 或（ 2 1 2 2 e 0 ） 2 (1 e4 ) ……………③ ……………………① 2 3、已知函数 z z(x, y) 由方程 z yz 2x1 0确定，证明 y z z 4 2 x y 2、先交换积分次序再计算积分 证明：方程两边对 x 求导数得： 2z 解得： 解：所给的积分区域为： z z y 2 0 x x z 2 x 2z y D {(x, y) 0 y , y x } {(x, y) 0 x ,0 y x} …………② ………② 方程两边对 y 求导数得： 2z 解得： z z z y 0 y y sinx 0 y x dy sinx 0 x …………② 设 2 x sinx 0 0 x dx dx dy …………② y 0x dx sinxdx cosx 0 2 z z …………② y 2z y z z 4 2 x y 于是有： y sinx 0 dyy x dx 0 …………② …………① 试卷序号： 班级： 学号： 姓名： 解：在平面 x y z 1上 | | | | | | | | 五 、 2 2 解： ds cos t ( sint) 1 lzds 2 tdt 0 t 2 …………② 2 2 2 …………① 2、计算曲线积分 Dxy xy …………………③ (0,0) e 1 …………① …………① 2、计算曲面积分 (xdydz ydzdx zdxdy) ，这里 Σ 是由曲面 z x y 2 和平面 z 1所围那部分立体的外表面。 解：由 Gaoss 公式有： 2 2 这里 Ω 是由曲面 z x y 和平面 z 1所围的那部分立体，如记 于是 xy (1,1) Dxy {(x, y) x2 y2 1} …………………② 1 六 、 得 dxdydz 3dxdy 则， 3 2 2 1 0 0 3 d (1 2 )d 分 1、计算曲面积分 Dxy （本大题共 2 小题，每题 7 分，共 14 分） 阅卷教师 0 …………① l e (xdy ydx) 与积分路径无关。…………………② xy 0 (111)dxdydz …………② (xdydz ydzdx zdxdy) xy l e (xdy ydx) e 1 x 3 6 xy xy 1 1 1 1 3( x x2 )dx 0 2 2 1 1 1 3[ x x2 x3 ]10 2 2 6 l e (xdy ydx) ，这里 l 是 X-Y 平面上连接点 O（0，0）和点 A（1，1） 解：注意到 e (xdy ydx) de 线 …………① 的任意一段分段连续光滑曲线。 知积分 这里 Dxy {(x, y) 0 x 1,0 y 1 x} zdS (1 x y) 3dxdy 3dx (1 x y)dy …………① …………② 2 2 2 t 0 2 …………① xy 从而 …………② 0 订 | | | | | | | | 2ds zdS (1 x y) 3dxdy D 2 | | | | | …………① 于是 分 x sint 1、计算曲线积分 zds，这里 l 是空间的一段曲线： y cost l z t 装 | | | | | | （本大题 2 小题，每题 7 分，共 14 分） 阅卷教师 得 dS 1 zx2 zy2 dxdy 3dxdy zdS ，这里 Σ 是平面 x y z 1位于第一挂限的那一 部分。 3 1 1 6 [ 2 4 ]10 2 4 3 2 x y2 dz …………② …………① …………① …………① 2