电动力学习题课2.doc

一、 并矢 1. 定义 rr ab 两个矢量并写在一起，称为并矢。我们为何要引入并矢这个概念呢？这是因为许多物理 与力学问题难以用矢量来表示。 先看一个例子： r r r 要描述一变形物体内应力对截面的拉伸作用就必须考虑 f 对 n 的投影矢量用 Pr ojn f 表示 r r r r r r r Pr ojn f = f ×n n =n n×f r rr rr r ¾¾ ® f ×nn or nn×f rr nn 就被称为并矢。 rr ) ) )) 两阶并矢的定义为 ab =å ae i i å aj ej =å ab i j ee i j ( ) ( ) i j (i, j =123) ij 2. 运算规律 除交换率外，并矢服从初等代数的运算规律 结合律： r r r (r ) r r ( ) rr m ab =(ma)b =a mb =mab rr r r ( ) rr ( ) ab ×c =a ×bc r r r ( ) rr rr 分配率： a b +c =ab +ac rr rr 但 ab ¹ ba )) åi ee i i ，任何一并矢都在单位并矢所长成的空间中 单位并矢 I = r r r I ×a =a ×I =a 3. 基本的几个并矢的矩阵形式 单位并矢 I æ1 0 0ö ÷ I =ç 0 1 0 ç ÷ ç0 0 1÷ è ø rr 并矢 ab ab ab æab 1 1 1 2 1 3ö ç ab =ça2b1 a2b2 a2b3 ÷ ÷ ça b a b a b ÷ è 3 1 3 2 3 3ø rr rr 并矢 aa æa1a1 a1a2 a1a3 ö ÷ aa =ç ça2a1 a2a2 a2a3 ÷ ça a a a a a ÷ è 3 1 3 2 3 3ø rr 4. 张量分析 并矢的散度 rr rr rr Ñ×ab =Ñar ×ab +Ñbr ×ab r r r r =(Ñar ×a)b +(Ñbr ×a)b r r r r =(Ñar ×a)b +(a ×Ñbr )b ( ) ( ) ( ) ¯ ¯ 标量 标量 rr \ Ñ×ab 是矢量 ( ) 例： r 1. Ñr ) ) =å ¶i ei å rj ej i j )) =å ¶i rj ee i j ij )) =å dij ee i j ij )) =å ee i i =I i 2. r A(r ) 为常矢量 r r r r r r Ñ×A(r )r = Ñ×A(r ) r + A(r ) ×Ñ r r r r r = Ñ×A(r ) r +A(r ) ×Ñr r r r = Ñ×A(r ) r +A(r ) ×I ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) 并矢的积分变换公式 高斯公式： Ñ òV dtÑ×T =Ñ òs dS ×T ur rr ) åi ab i j ei 证： T =ab ， T j = ) ) ur ) Ñ ò dtÑ×T =Ñ ò dt å ¶iTij ej =å ej Ñ ò dt å ¶iTij =å ej Ñ ò dtÑ×T j V V ij V j i r ur r ) =å ej Ñ ds ò ×T j =Ñ òds ×T s j V j s 也就是说并矢的高斯公式也就是三个不同方向矢量的高斯公式 斯托克斯公式： r ( ) r òds ×Ñ´ T =Ñ òdl ×T S l 证： r ( ) ur ) ö r æ r ) ( ur ) r ur ) ç å T j ej ÷=å ej òds ×Ñ´ T j =å ej Ñ òds ×Ñ´ T =òds ×Ñ´ òdl ×T j S S r =Ñ dl ò ×T è j ø j S j l l 二、曲线正交坐标系简介 在一般曲线正交坐标系中，空间一点 p 的位置用三个坐标 u1 ， u2 ， u3 表示。沿这些坐标增 ) ) ) 加方向的单位矢量 e1 ， e2 ， e3 ，沿这三个方向的线元为 dl1 =hdu 1 1 ， dl2 =h2du2 ， dl3 =h3du3 对于球坐标系 u1 =r ， u2 =q ， u3 =f h1 =1， h2 =r ， h3 =r sinq 在曲线坐标系中有一般公式 Ñj = 1 ¶j ) 1 ¶j ) 1 ¶j ) e+ e+ e h1 ¶u1 1 h2 ¶u2 2 h3 ¶u3 3 Ñ2j = öù ö ¶j æhh 1 é¶j æh2h3 ¶j ö ¶j æhh 1 3 ¶j 1 2 ¶j ê ç ÷ú ÷+ ç ÷+ ç hh 1 2h3 ë¶u1 è h1 ¶u1 ø ¶u2 è h2 ¶u2 ø ¶u3 è h3 ¶u3 øû r r Ñ×A Ñ´ A 2 也许有人会说 Ñj ， Ñ j 形式在在曲线坐标系中更加麻烦了？ 但当 j 具有某种对称性后 j 具有球对称 j (r,q,j ) =j (r ) 时 r ¶j ) ¶j r Ñj = er = ¶r ¶r r 1 ¶ æ ¶j ö Ñ2j = 2 çr 2 r ¶r è ¶r ÷ ø 2 大家看到这么简单的形式一定非常兴奋，只是 Ñj ， Ñ j 的形式太复杂，如果可以求出在 曲线坐标系中的 Ñ 形式，那就好了，可是，可以吗？ 例： r r Ñr = r r r r ¶r - 1 r 1r r Ñr = =- 2 =- 3 ¶r r r r r -1 1 ¶ æ ¶r ö 1 ¶ 2 Ñ2r = 2 çr 2 ÷= 2 (r 2 ) = r ¶r è ¶r ø r ¶r r 1 1 ¶ é ¶ æ1 öù Ñ2 = 2 êr 2 ç ÷ú r r ¶r ë ¶r èr øû 1 ¶ é æ 1 öù = 2 êr 2 ç- 2 ÷ú r ¶r ë è r øû r¹ 0 =0 但在 r ¹ 0时， 1 r 为奇点，无法求导数。我们在这里介绍一种方法。 1 òÑ r dV =lim òÑ a 2 ®0 =limò a®0 1 2 (r +a ) - 3a2r 2 5 2 2 (r +a ) 2 ¥ 0 =lim- 12p ò 作积分变换 r =ar dV 5 2 2 (r +a ) ¥ a®0 dV - 3a2r 2dr =limòdWò a®0 1 2 2 2 0 2 a2r 2dr 5 2 2 (r +a ) 2 ¥ =- 12p ò 0 r 2dr 5 (r 2 +1)2 ¥ =- 12p r3 3 2 (r +1) 2 0 =- 4p 当然这个积分也可以用留数定理作，有兴趣的同学可以尝试一下。 1 Ñ2 =- 4pd(r ) r 三、习题 1.1 r r Ñ (a ×r ) =? r 鉴于 Ñ´ r =0 r r =a ´ (Ñ´ r ) +? r r r r r r a ´ (Ñ´ r ) =Ñ(a ×r ) - (a ×Ñ)r r r ) ) ) Ñ (a ×r ) =¶j ej Ar i i =dij Ae i j = Ae i i r =a 1.1 r r r r r r r Ñ×(r ´ (a ´ r )) =Ñ×(ar 2 - r (a ×r )) r r r r =Ñr 2 ×a - Ñ×é ër (a ×r )ù û r ¶r 2 r r r r 2 r Ñr ×a = ×a =2r ×a ¶r r r r r r r r r r r Ñ×é ër (a ×r )ù û=Ñrr ×é ër (a ×r )ù û+Ñar×rr ×é ër (a ×r )ù û r r r r r r =(a ×r )(Ñrr ×r ) +é ëÑar×rr (a ×r )ù û×r r r r r r r =3(a ×r ) +a ×r =4a ×r r r r r r Ñ×(r ´ (a ´ r )) =- 2r ×a 1.7 r r r r r r r ¶E0 sin k ×r - wt r r Ñ×éE0 sin k ×r - wt ù=Ñ k ×r × ë û ¶k ×r r r r r =k ×E0 cos k ×r - wt r ( ) ( ( ) ( ) ) r r r r r r r ¶E0 sin k ×r - wt r r Ñ´ éE0 sin k ×r - wt ù=Ñ k ×r ´ ë û ¶k ×r r r r r =k ´ E0 cos k ×r - wt r ( ) ( ( ) ( ) ) r r i(kr×r wt) rr r r r ¶ E e i k ×r w t ( ) ù= 0 r Ñ×éE0e × Ñ k ×r r ê ú ë û ¶k ×r r r r i(kr×r wt) =ik ×E0e r r i(kr×r wt) rr r r ¶ E e r i (k×r wt) ù Ñ´ éE0e =Ñ k ×r ´ 0 r r ê ú ë û ¶k ×r r r r i(kr×r wt) =ik ´ E0e ( ) ( ) 1.4 r r r r r r òA(r)dt =òÑ×(A(r)r )dt =òdS ×(A(r)r ) V V S ( r S r r r =òdSn×A(r )r =òdS n×A(r ) r r r ) S ( ) =0 B 例：磁偶极距 v vv j (r¢) vr m A(r ) = 0 ò dt ¢ 4p r a m r r 1 1 r ×r ' 在远场条件下 r >>r '因此 = r r » + 3 R r- r' r r 1 vv vv vr m0 j (r¢) m0 j (r¢) r r A(r ) = ò dt ¢+ ò 3 r ×r 'dt ¢ 4p r 4p r vv v r vv m0 j (r¢) m A0 (r ) = ò dt ¢= 0 òdt ¢j (r¢) 4p r 4p r v vv m r v Q n×j (r¢) =0 = 0 òdt ¢j (r¢) =0 4p r vv v r m0 j (r¢) r r A1(r ) = ò 3 r ×r 'dt ¢ 4p r m vv r r = 0 3 òj (r¢)r ×r 'dt ¢ 4p r r r r r r ×r ' =rr 'sinq cosf ', j (r ') = j0eˆf ' dt ' =r 'df ' q m0 j0eˆf 'rr 'sinq cosf 'r 'df ' 4p r 3 ò m ) ) = 0 3 òj0 (sinf 'ex +cosf 'ef )rr 'sinq cosf 'r 'df ' 4p r ma2 ) ) = 0 2 ×sinq ×j0 ò(sinf 'cosf 'ex +cosf 'cosf 'ef )df ' 4p r m0a2 ) = ×sinq ×j0ef òcos2 f 'df ' 2 4p r m0a2 ) = ×sinq ×j0ef p 2 4p r = vr A(r ) = m0 ˆf ×sinq ×I p a2e 2 4p r d 例题：平行板电容器，上下面板分别位于 z =± ，面电荷密度 ±s 。求 r 2 1． 单位时间内流过 xoy平面单位面积的动量 Pz=0 2． 上面板单位面积的受力 板间电场 r E =- sq ) e e0 z 动量流密度张量 æs q2 ç ç 2e0 r r s q2 ) ) s q2 ) ) s q2 ) ) ç 1 r2 T = e0E I - e0EE = exex + eyey ezez =ç 0 ç 2 2e0 2e0 2e0 ç ç ç 0 è 所以单位时间单位面积流进 xoy平面的动量 0 s q2 2e0 0 ö 0 ÷ ÷ ÷ 0 ÷ ÷ ÷ s q2 ÷ 2e0 ÷ ø r s q2 ) ) ) s q2 ) ) ) s q2 ) ) ) P =n×T =ez ×T = ez ×exex + ez ×eyey ez ×ezez 2e0 2e0 2e0 r ) s q2 ) =ez 2e0 上面板单位面积的受力为 r r s q2 ) F =- Ñ dS ×T =- Ñ dsn×T =- (- ez )×T =ez ò ò 2e0 s s r )