非线性电路实验_实验讲义.doc

非线性电路实验 引言 非线性是在自然界广泛存在的自然规律，相对于我们熟悉的线性要复杂得多。 随着物理学研究的不断深入，非线性问题逐渐被重视起来，现已出现了多个分支， 混沌便是其中之一。混沌现象在生活中广泛存在，如著名的蝴蝶效应、湍流、昆 虫繁衍等[1]。 要直观地演示混沌现象，采用非线性电路是一个非常好的选择。能产生混沌 现象的自治电路至少满足以下三个条件[2]：1）有一个非线性元件，2）有一个用 于耗散能量的电阻，3）有三个存储能量的元件。如图 1 所示的蔡氏电路（Chua's circuit）[3,4]是一个符合上述条件、非常简洁的非线性电路，由华裔物理学家蔡绍 棠（Leon O. Chua）教授于 1983 年提出并实现。近年来，非线性电路的研究领 域有了长足进展，新的混沌与超混沌电路[5]的理论设计与硬件实现等问题备受人 们关注。如 Chen 氏电路[6]、Colpitts 振荡电路[7]、基于 SETMOS 的细胞神经网络 结构的蔡氏电路[8]，都能用于研究混沌现象，并有不同的应用领域。 实验原理 在众多的非线性电路中，蔡氏电路因其结构简单、现象明晰，成为教学实验 中让学生接触、了解混沌现象的最佳选择，大量基于蔡氏电路的实验仪器[9-11]被 广泛应用于高校实验教学。蔡氏电路（如图一所示）的主要元件有可调电阻 R （电路方程中以电导 G=1/R 做参数，以下方程求解过程都用 G 来表示，而涉及 实验的内容采用 R 表示）、电容 C1 和 C2、电感 L 以及非线性负阻 Nr。它的运行 状态可以用以下方程组来描述：  dU1 C1 dt  G(U 2 U1)  g(U1)   dU2  G(U1 U 2 )  I L C2 dt   dIL L dt  U 2  (1) 其中 U1 为 C1（或负阻 Nr）两端的电压，U2 为 C2（或 L）两端的电压，IL 为通 过 L 的电流，Error! No bookmark name given.g(U)为非线性负阻的 I-V 特性函数， 其表达式为： g(U )  GbU  Gb  Ga 2 (|U  E |  |U  E |) (2) 式中各参数和变量的具体意义间图 3。从 g(U)的表达式看出，g(U)分三段，且每 段都是线性的，所以我们可以将求解分三个区间来进行。由于两侧区间基本对称， 可以一并求解。 图 1：蔡氏电路示意图 U1、U2、IL 构成一个三维的状态空间，称为相空间，相空间的状态点记为 X  U1 U 2 I L T 。混沌实验仪中一般演示 X 点的相轨迹在 U1-U2 平面的二维投 影，可用双踪示波器的 X-Y 模式来观察，即常说的李萨如图形。 在每个区间内，方程(1)都可以改写成如下形式的线性方程： (t)  AX(t)  b X  X(0)  X0 (3) (t)  0 时的解即为相空间 其中 X(t)、b 为三维矢量，A 为三阶矩阵。方程(3)在 X (t)  Ax(t) 的 的不动点 XQ， XQ  A1b。原方程组的解即可写为线性齐次方程 x 通解与不动点特解 XQ 的和。方程(3)的本征值方程为|λI-A|=0，若 A 存在三个本 征值 λ1、λ2、λ3，齐次方程的解即为：    x(t)  c1e1tξ1  c2e2tξ2  c3e3tξ3 (4) 其中 ξi 为 λi 对应的本征向量，ci 由初始状态 X0 决定。 在有些情况下，A 有一个实本征值 γ 和一对共轭的复本征值 σ±iω，方程的解 可以写成： x(t)  xr (t)  xc (t)   t x ( t )  c e   r r     t  t  c ) r  sin( t  c )i ] xc (t)  2cce [cos( (5) 式中 ξγ 是实本征值对应的本征向量， ηr±iηi 是共轭的复本征值对应的本征向量。c、 cr、cc 由初始状态决定。综上所述，蔡氏电路方程组的解为： X(t)  XQ  xr (t)  xc (t) (6) 我们把实本征向量 ξγ 方向标记为 Er，把 ηr 和 ηi 张成的平面记为 Ec。齐次方 程解的独立分量 xr(t)在 Er 方向，xc(t)在平面 Ec 内。方程的解随着时间演化具有 如下性质：如果 γ<0，xr(t)指数衰减到 0；如果 γ>0，xr(t)沿着 Er 方向指数增长。 由此可见，对于任何一条相轨迹 X(t)，Er 方向上的分量恒正或恒负，所以它始 终都无法穿越 Ec 平面（图 Error! Bookmark not defined.、Error! Bookmark not defined.）。如果 σ>0 且 ω≠0，则 xc(t)在 Ec 平面内螺旋离开不动点 XQ；若 σ<0，xc(t)在 Ec 平面内螺旋收缩到不动点 XQ。这些性质在进行每个区域分析时 都非常有用。 非线性负阻的结构[9]如图 2 所示，由两个封装在一起的运算放大器（双运算 放 大 器 集 成 电 路 FL353N ） 和 6 个 定 值 电 阻 （ R1=3.3kΩ 、 R2=R3=22kΩ 、 R4=2.2kΩ、R5=R6=220Ω，精度 1%）构成，输入电源电压±15V。理想的非线性 负阻具有如图 3 所示的 I-V 特性，被±E 拆分为上中下三个区域，在各个区域都 是线性函数，分段函数的斜率依次为 Gb、Ga、Gb，且满足 Ga