16175904-《微积分1a》-课程教学大纲.doc

广东财经大学教师教案撰写规范 教案是任课教师的教学实施方案，是教师按照预定的教 学目标和计划，经过全面准备和认真思考所写的关于课堂教 学的设计方案。高质量的教案，对课堂教学起着规划指导作 用，是提高课堂教学质量不可缺少的组成部分。为规范我校 教师的教学行为，提高教学质量，特对教案编写规范作出如 下规定。 一、教案编写原则： 1. 教学目的明确，重点、难点突出，紧扣教学大纲。 2. 教学内容分析透彻，文字准确，切合教材和学生实 际。 3. 教学环节安排合理紧凑，对课堂教学有很好的指导 作用。 4. 教案中既能体现传授知识的科学性、系统性，又能 体现教学方法的灵活性，教会学生学习的方法。 5. 教案图表规范，板书设计科学合理，手写教案书写 工整。 6. 教案内容不断充实完善,积极吸收本学科专业最新 的科研成果，充分体现教学改革的思想,培养学生的创新精 神。 7. 恰当合理的使用现代教育技术手段。 二、课程学期教案文本构成 1. 封面（见附件 1）。 2. 教案（总体部分）（见附件 2）：一般应包括课程 说明、先修课程、参考教材、授课班级、授课时间、总学时 等几个部分。 3. 课程教案（见附件 3）：教师根据本课程的特点， 依据课程教学大纲的要求，结合教材内容及教学计划安排的 周学时、总学时，按照章节、课次形成详细的文字方案。 三、教案内容要求 教案的编写一般要求具备以下几部分内容： 1. 题目（标明章、节或主题） 2. 课时安排 3. 授课类型（指理论课、实验课、讨论课、习题课、双 语课、全英课等） 4. 教学目的要求 5. 教学重点与教学难点 6. 教学内容与教学过程设计 7. 教学方法、手段（手段指板书、多媒体、模型、标本、 挂图、音像等教学工具的运用） 8. 思考题或作业题 9. 课后小结 四、教案形式要求 教案使用 A4 纸打印，所需表格、附件，请登录广东财 经大学教务处网页下载专区下载。 附件 1：广东财经大学教案封面； 附件 2：教案（总体部分）； 附件 3：课程教案。 附件 1 广 东 财 经 大 学 教 案 2020～2021 学年第 1 学期 课 程 名 称 微积分 Ia 授 课 班 级 经管类分层分类 a 班 教 材 名 称 《微积分》 教 学 单 位 统计与数学学院 授 课 教 师 邹战勇等 职 称 职 务 副教授/教研室副主任 二○二○年 十二月 教 附件 2 课 程 名 称 课 程 类 别 授 课 教 师 授 课 对 象 先 修 课 程 案（总体部分） 微积分 Ia 学科基础课 学 分 4 邹战勇等 职 称 副教授 总计： 60 学时 讲授： 实验： 实习： 60 0 0 学时 学时 学时 专业班级： 本校经管类分层分类 a 班 共 3 个班 无 课 程 说 明 教 学 目 的 要 求 教 学 内 容 和 重 点 及 难 点 教 和 要 考 料 微积分的主要内容包括极限理论，而极限思想至始至终贯穿于微积 分之中，微积分中许多重要的概念都是用极限来定义的，如连续、导数、 积分、级数等。可以说微积分就是应用极限和极限思想研究函数变量间 依赖关系和函数变化规律的数学分支，极限和极限思想在微积分中扮演 着核心的地位。 本课程是经济数学基础之一，授课对象为广东财经大学本科一年级 经济类和管理类等专业学生。在讲授和学习时，应注重提高学生分析问 题和解决问题的能力，培养学生良好的逻辑思维习惯，让学生掌握全面 考虑问题的思维方法，这将有助于学生们顺利地学习其他专业理论课。 同时，在讲授新课时授课教师要特别注意课程思政点及融入方式的介入 和把握。 本课程主要内容包括：⑴函数、极限、连续；⑵一元函数微分学；⑶ 一元函数积分学中的不定积分。 各章节重点及难点详见附件 3 具体章节教案。 材 主 参 资 吴赣昌 赵树嫄 刘国刚 隋如彬 微积分 微积分 微积分 微积分 2017 年 7 月 2016 年 6 月 2016 年 8 月 2012 年 7 月 中国人民大学出版社 中国人民大学出版社 吉林大学出版社 科学出版社 注：课程类别：通识课（必修、选修） 、学科基础课、专业课（必修、选修） 、综合运用课， 具 体 课 程 类 别 请 参 见 授 课 对 象 教 学 计 划 。 第一章 §1.1—§1.5 集合和函数的概念 附件 3： 及建立 课程教案 授课题目： 集合和函数的概念及建立 授课时间 第 1 周第 1、2 教学器材与工具 节 多媒体、白板 安 排 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1.理解实数与实数绝对值的概念，能解简单绝对值不等式。 2.理解函数,函数定义域和值域等概念,熟练掌握函数的表示法。 3.掌握建立简单应用问题的函数关系。 4.本节内容带有复习性质，凡中学已经学过的有关函数知识，只需加以复习 提高，不必再做详细讲解。 5.课程思政点及融入方式:相关性融合----制定大学四年学习、实习计划。 教学重点及难点： 1、本节重点内容包括：邻域的概念，函数的定义，分段函数，如何建立函 数关系。 2、本节难点主要是函数概念，建立函数关系。 教 学 基 本 内 容 （可增加页） 第一章 函数 §1.1 集合 §1.2 实数集 §1.3 函数关系 §1.4 分段函数 §1.5 建立函数关系的例题 教学过程设计： 1-引入 通过几何学中曲线的切线问题和曲边梯形的面积问题引入微积分学 这门学科的诞生。 2-互动 Q1：微积分研究的主要对象是什么？ Q2：微积分作为数学学科，它的研究工具是什么？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、集合 1.邻域的概念 二、函数关系 1.函数的定义 2.分段函数 3.隐函数 三、建立函数关系的例题 4-收尾 请学生预习第六节函数的性质等相关内容并练习课本 32 页的习题 1、 2。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题一（A）18,、27； 讨论和思考题：针对不同类型的函数，如何求其自然定义域？ 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 隋如彬 微积分 科学出版社 2016 年 8 月 2012 年 7 月 课后小结： 本节作为《微积分》的开篇，承前启后，特别是激发学生的学习兴趣，引导 学生对微分学和积分学有一个清醒和准确的认识显得十分重要，选择例子也很关 键，同时板书应清晰明了，还要注重微积分中基本符号的引进和使用，希望通过 自己的不断努力和学生的勤奋学习，让学生真正领悟到微积分学的真谛。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第一章 §1.6—§1.8 函数的性质，反函数， 复合函数，初等函数 课程教案 授课题目（教学章、节或主题）： 函数的性质，反函数，复合函数，初等函数 授课时间 第 1 周第 3、4 教学器材与工具 节 多媒体、白板 安 排 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1.掌握函数的几种简单性质。 2.了解反函数的概念,知道函数与其反函数的几何关系,给定函数会求其反 函数。 3.理解复合函数的概念,知道两个(或多个)函数能构成复合函数的条件,掌 握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。 4.理解基本初等函数的定义域，值域等概念，掌握基本初等函数的基本性质。 5.理解初等函数的概念。 6.本章内容带有复习性质，凡中学已经学过的有关函数知识，只需加以复习 提高，不必再做详细讲解。 6.课程思政点及融入方式:相关性融合----逻辑思维和推理能力在现实生活 中方方面面的应用。 教学重点及难点： 1、本节重点内容包括：复合函数的概念及分解；基本初等函数与初等函数。 2、本节难点主要是复合函数的概念及其分解。 教 学 基 本 内 容 第一章 函数 §1.6 函数的几种简单性质 §1.7 反函数与复合函数 §1.8 初等函数 教学过程设计： 1-引入 通过观察正弦函数、余弦函数图形特点引导出函数的四个简单特性。 2-互动 Q1：中学学过的基本初等函数有哪些？ Q2：是否任何函数都可构成复合函数？其复合的条件是什么？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、函数的四种特性 1.奇偶性 2.单调性 3.周期性 4.有界性 二、反函数与复合函数 1．反函数的定义域和值域 2．多个函数的复合 3. 复合函数的分解 三、初等函数 4-收尾 请学生预习第二章第一节数列的极限等相关内容并练习课本33页的 习题 19、45。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题一（A）22,、32、57； x 2 是否为分段函数？是否为初等函数？ 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 2016 年 8 月 讨论和思考题：y  隋如彬 微积分 科学出版社 2012 年 7 月 课后小结： 本节要求掌握初等函数是如何合成的。对于复合函数，根据其由外向内的分 解原则，会将其分解成若干个简单函数。熟练掌握这一分解过程，为今后复合函 数求导打下基础。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第二章 §2.1—§2.2 函数的极限 课程教 案 授课题目 函数的极限 授课时间 安 排 第 5 周第 1、2 节 教学器材与工具 授课类型 （请打√） 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ 其他□ 多媒体、白板 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1.理解数列极限、函数极限的概念。 2.了解直接用定义检验（证明）函数极限的方法。 3.掌握七种极限过程下各自的基本极限形式。 4.本节宜在中学已经学过的极限知识的基础上，提高对极限理论的认识。 5.课程思政点及融入方式:目的性融合----回味无穷、无限的意境，体悟宇 宙的无边无际的意境。 教学重点及难点： 1、本节重点内容：数列极限、函数极限等一共七种不同的极限过程的形式 定义。各极限过程中的基本极限形式。 2、本节难点：极限定义。 教学基本内容 （可增加页） 第二章 极限与连续 §2.1 数列的极限 §2.2 函数的极限 教学过程设计： 1-引入 通过观察数列和函数的变化趋势引入（复习）极限的概念。 2-互动 极限的概念源于人们对变量变化过程中可能出现的何种规律的认识？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、数列的极限 1.无穷数列 2.数列的极限 3.数列极限的严格定义 4.两个基本极限（1/n;C） 二、函数的极限 1.函数例 2.函数的六种极限过程及其严格定义 3.在不同的极限过程下的基本极限形式（x;1/x;C） 4.请学生预习第三节变量的极限等相关内容并练习课本 73 页的习题 1，鼓 励学生用定义证明基本极限。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题二（A）5、6； 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 隋如彬 微积分 科学出版社 2016 年 8 月 2012 年 7 月 课后小结： 极限论是微积分学的基础和基本工具，本节作为极限与连续一章的开篇，对 于学生学好极限论非常重要，特别是基本极限，虽然简单但却是以后求复杂极限 的化归方向，具有如灯塔般的指示意义，需要提醒学生重视。为了加深对极限定 义的理解，可以示范对一两个基本极限作出严格的证明，并鼓励学生完成对其余 基本极限的证明。让学生了解和欣赏到极限理论的严谨性。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第二章 §2.3 变量的极限 课程教案 授课题目 变量的极限 授课时间 安 排 第 5 周第 3、4 节 教学器材与工具 授课类型 （请打√） 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ 其他□ 多媒体、白板 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1.理解变量极限的概念。 2.掌握七种极限过程下均成立的基本极限（C） 。 3.掌握趋于无穷大这四个极限过程下成立的基本极限（1/n;1/x）。 4.掌握趋于某实数这三个极限过程下成立的基本极限（x）。 5.借助中学已有的极限运算知识，介绍代数函数“无穷大/无穷大”型的极 限的求法：化归到基本极限。 6.课程思政点及融入方式:目的性融合-----不被事物的表面现象所有迷惑， 紧抓本质。 教学重点及难点： 1、本节重点内容：基本极限形式。 2、本节难点：基本极限的证明。 教学基本内容 （可增加页） 第二章 极限与连续 §２.3 变量的极限 教学过程设计： 1-引入 通过复习基本极限形式引入变量极限的概念。 2-互动 变量极限的概念来自人们对不同极限过程中共同规律的思考和把握。 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、基本极限形式复习 1.数列极限的情形 2.函数极限当 x 趋于无穷大时的情形 3.函数极限当 x 趋于有限实数的情形 4.任何极限过程中都不变的基本极限 二、变量的极限的概念 1.了解变量极限的概念 2.直接用定义证明各类极限过程中的基本极限，为本章今后的推演准备好坚 实的基础。 3.扩展：代数函数“无穷大/无穷大”型的极限的求法：化归到基本极限。 4.请学生预习第四、五节无穷小量和极限运算法则等相关内容。练习课本 73 页的习题 1 已学相关内容的习题。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题二（A）7、9、10、13； 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 隋如彬 微积分 科学出版社 2016 年 8 月 2012 年 7 月 课后小结： 极限论是微积分学的基础和基本工具，本节强化基本极限，由此引入变量极 限的概念。加深了对各类极限过程规律的认识，指导学生完成了对基本极限的证 明，使学生对极限理论的严谨性有了进一步的认识。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 第二章 §2.4 无穷大量与无穷小量 课程教案 授课题目（教学章、节或主题）： 授课时间 安 排 无穷大量与无穷小量 第 6 周第 1、2 教学器材与工具 节 多媒体、白板 授 课 类 型 理论课 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1. 理解无穷小量与无穷大量的概念， 2. 掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系和无穷小量比较的方法。 3.课程思政点及融入方式:目的性融合——“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际 流”。 教学重点及难点： 1.本节重点内容：无穷小量的性质、无穷小量阶的比较。 2. 本节的难点内容：无穷小量阶的比较。 教 学 基 本 内 容 第二章 极限与连续 §2.4 无穷大量与无穷小量 一、无穷大量 1. 定义 如果对于任意给定的正数 E，变量 y 在其变化过程中，总有那么 一个时刻，在该时刻以后，不等式 |y|>E 恒成立，则称变量 y 是无穷大量，或称变量 y 趋于无穷大，记作 limy=∞. 2. 无穷大量与无界变量的关系 (1) 无穷大量显然是无界变量； (2) 但无界变量不一定是无穷大量。 二、无穷小量 1. 定义 以零为极限的变量称为无穷小量，亦即对于任意给定的正数 ε，如 果在变量 y 的变化过程中，总有那么一个时刻，在该时刻以后，不等式 |y|<ε 恒成立，则称 y 为无穷小量。 2. 无穷小量和极限的关系： (1) 变量 y 以 A 为极限的充分必要条件是：变量 y 可以表示为 A 与一 个无穷小量的和。 (2) 如果变量 α 是无穷小量，变量 y 是有界变量，则变量 αy 是无穷小量。 三、无穷小量与无穷大量的关系 在变量 y 的同一变化过程中, 1 (1)如果 y 为无穷大量，则 为无穷小量； y (2) 如果 y (y≠0)为无穷小量,则 1 y 为无穷大量。 四、无穷小量的阶 设 α 和 β 是某一极限过程中的无穷小量，    如果 lim   ,则称 β 是比 α 低阶的无穷小量；   如果 lim  c  0，则称 β 是与 α 同阶的无穷小量；   特别地, 如果 lim  1, 则称 β 与 α 是等价无穷小量, 记作  ~  如果 lim  0，则称 β 是比 α 高阶的无穷小量，记为   o( )； 教学过程设计： 1-引入 1 通过观察函数 y = 当 x→0 和 x→∞时的变化趋势，引入无穷大量 x 和无穷小量。 2-互动 Q1：无穷大量是不是很大的数或无界变量？ Q2：无穷小量是不是很小的数？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、无穷大量 1. 无穷大量的定义 2. 无穷大量与无界变量的关系 二、无穷小量 1. 无穷小量的定义 2. 无穷小量和极限的关系 三、无穷大量和无穷小量的关系 四、无穷小量的阶 4-收尾 请学生练习课本 74 页的习题 9 并预习第五节极限的运算法则的内 容。 教学方法及手段（请打√）：讲授、讨论□、多媒体讲解、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题一（A）19, 27 1 1 讨论和思考题：证明当 x→0 时， (1+x)n - 1~ x. n 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 2016 年 8 月 隋如彬 2012 年 7 月 微积分 科学出版社 课后小结： 本节要求掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系和无穷小量比较 的方法。无穷小（大）量是相对于过程而言的，称一个变量是无穷大（小）量， 必须指明其自变量的变化趋势。无穷小（大）量是变量，不能与很小（大）的数 混淆，零是唯一的无穷小的数。无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小，无界变 量未必是无穷大量。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 第二章 §2.5 极限的运算法则 授课题目（教学章、节或主题）： 授课时间 安 排 课程教案 极限的运算法则 第 6 周第 3、4 节 教学器材与工具 多媒体、白板 授 课 类 型 理论课 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1.掌握极限的四则运算法则，并能应用这些法则，根据几个已知的函数的极 限，求出较复杂的函数的极限。 2.课程思政点及融入方式:重点要素融合——做事沉着冷静、不急于求成， 遵循万事万物原本的发展规律。 教学重点及难点： 有理分式函数的极限的求法。 教 学 基 本 内 容 第二章 极限与连续 §2.5 极限的运算法则 设 lim x = A，lim y = B，则 法则 1 lim (x ± y) = lim x ± lim y=A±B； 法则 2 lim (x y) = lim x ﹒lim y=A ﹒B； 法则 3 lim = 推论 1 推论 2 推论 3 两个无穷小量的代数和仍为无穷小量。 两个无穷小量的乘积仍为无穷小量。 常数因子可以提到极限符号外，即 lim c x =c lim x 如果 n 是正整数，则 lim xn =( lim x )n 推论 4 x limx A = ， (B ¹ 0). y lim y B 教学过程设计： 1 一 些 简 单 函 数 可 从 变 化 趋 势 找 出 它 们 的 极 限 ， 如 lim =0, 1- 引 入 x®¥ x lim x =x0 。如果求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数 x® x0 经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系， 这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算。 2-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、极限的运算法则 1. 法则 1 2. 法则 2 3. 法则 3 4-收尾 的内容。 请学生练习课本 75 页的习题 11(25)并预习第六节两个重要的极限 教学方法及手段（请打√）：讲授、讨论□、多媒体讲解、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 作业：习题一（A）11(2)(5)(16)(18)(20)(22)(23)； x2 - 2x +k 讨论和思考题：已知 lim =4，求 k 的值。 x®3 x- 3 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 2016 年 8 月 隋如彬 2012 年 7 月 微积分 科学出版社 课后小结： 本节要求掌握极限的四则运算法则，并能应用这些法则求出较复杂的函数的 极限。对于多项式函数和分式函数用代入法求极限。对于有理分式函数，当 x→x0 时求其极限，首先要验分母极限是否为零：若分母的极限不为零，则直接代入即 可；若分母的极限为零，但分子的极限不为零，则可直接断定该极限为无穷大； 若分子分母的极限均为 0，此时可通过分解因式、有理化、变量代换，分子、分 母约去无穷小因子，再求极限。当 x→∞，分子分母同除以分母中自变量的最高 次幂，以分出无穷小，然后求极限。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 第二章 §2.6 两个重要的极限 授课题目（教学章、节或主题）： 授课时间 安 排 课程教案 两个重要的极限 第 7 周第 1 、2 节 教学器材与工具 多媒体、白板 授 课 类 型 理论课 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1. 知道两个极限存在性定理并能用于求简单极限的值。 2. 熟练掌握两个重要极限求极限的方法。 3.课程思政点及融入方式:重点要素融合——校园网贷有风险、入门须谨慎， 要理性和量力而行对待消费。 教学重点及难点： 1.本章重点内容包括：极限存在准则、两个重要极限。 2.本章难点包括：极限存在定理的应用；利用两个重要极限求极限的方法。 教 学 基 本 内 容 第二章 极限与连续 §2.6 两个重要的极限 一、极限存在的准则 1. 准则 I 定理 2.11 如果在某个变化过程中，三个变量 x, y, z 总有关系 y ≤ x ≤ z，且 lim y = lim z = A，则 lim x =A. 2. 准则 II 如果数列 yn = f(n) 是单调有界的，则 lim f(n) 一定存在. 二、两个重要的极限 sin x =1 1. lim x®0 x 推广： sinj (x) =1，(j (x) ¹ 0) j ( x)®0 j (x) lim 1 2. lim(1+ )n =e n®¥ n 对于连续自变量 x，也有 1 lim(1+ )x =e , x x®¥ 1 lim(1+x) x =e x®0 j ( x) æ 1 ö 推广： lim ç1+ ÷ j ( x)®¥ è j (x) ø =e, 1 lim (1+j (x))j ( x) =e, (j (x) ¹ 0) j ( x)®0 教学过程设计： 1-引入 sin x 观察函数 y = 的图像，引入第一个重要极限。 2-互动 sin x sin x æ0 ö ® 0，但 x→0 时， f (x) = 已知 x→∞ 时， f (x) = ÷是 x x ç è0 ø x 否有极限？如果有，怎么求？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、极限存在的两个准则 1. 准则 I 2. 准则 II 二、两个重要极限 sin x =1 (1) 第一个重要极限 lim x®0 x 1 (2) 第二个重要极限 lim(1+ )n =e n®¥ 4-收尾 n 请学生练习课本 81 页的习题 23,24 并预习第七节的内容。 教学方法及手段（请打√）：讲授、讨论□、多媒体讲解、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题一（A）22, 23(1)(3)(5)(7), 24(1)(3)(5)(7) 1 讨论和思考题：设 a>b>c>0，求 lim(a +b +c ) . n n n n n®¥ 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 2016 年 8 月 隋如彬 2012 年 7 月 微积分 科学出版社 课后小结： 本节要求掌握极限存在的两个准则和两个重要极限，并学会使用其进行基本 的极限运算。利用两个重要极限求极限时，必须先将所求极限转化为相应的标准 形式，然后再求极限。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第二章 §2.7 等价无穷小量代换 课程教案 授课题目： 利用等价无穷小量代换求极限 授课时间 第 7 周第 3、4 节 教学器材与工具 多媒体、白板 安 排 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1.理解等价无穷小代换量定理。 2.掌握常用等价无穷小量关系。 3.掌握等价无穷小量代换的应用条件。 4.熟练掌握利用等价无穷小量代换求极限。 教学重点及难点： 1、本节重点内容包括：常用等价无穷小量关系，利用等价无穷小量代换求 极限。 2、本节难点主要是等价无穷小量代换的应用条件。 教 学 基 本 内 容 （可增加页） §2.7 利用等价无穷小量代换求极限 （一）等价无穷小替换定理 （二）常用等价无穷小量关系 （三）课堂练习 教学过程设计： 1-引入 复习无穷小量的定义。 0 0 2-互动 Q1：求 ( 型).极限有什么方法？ 0 0 Q2：还有什么方法可以使求 ( 型).极限的步骤简化？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、等价无穷小替换定理 无穷小量的替换只能用在乘除不能用在加减 二、常用等价无穷小量关系 三、例题 四、课堂练习 4-收尾 请学生预习§2.8 函数的连续性（1）相关内容并练习课本 77 页的习 题 28（1） 。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题二（A）28（2）·（3）·（5）； 讨论和思考题：怎么定义函数在一点连续？ 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 隋如彬 微积分 科学出版社 2016 年 8 月 2012 年 7 月 课后小结： 0 0 本节从求 ( 型).极限有什么方法来引入等价无穷小量代换定理，通过例题来激发 学生的学习兴趣，希望通过学生的勤奋学习和课堂练习，让学生真正领悟到利用 等价无穷小量代换求极限的方法。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第二章 §2.8 函数的连续性（1） 课程教 案 授课题目（教学章、节或主题）： 函数的连续性（1） 授课时间 第 8 周第 1、2 教学器材与工具 节 多媒体、白板 安 排 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1.掌握函数在一点连续的定义的两个表达式。 2.了解函数在一点左连续与右连续的定义。 3.理解函数在一点连续的充分必要条件。 4.理解函数在一点连续与极限存在之间的关系。 5.掌握判断简单函数（含分段函数）在一点处连续的方法。 6.掌握利用函数连续性求函数极限 7.课程思政点及融入方式:整体性融合——逻辑思维和推理能力在解决现实 问题中的重要性。 教学重点及难点： 1、本节重点内容包括：函数连续的定义；初等函数求极限的方法。 2、本节难点主要是判断简单函数（含分段函数）在一点处连续的方法。 教 学 基 本 内 容 （可增加页） （一）函数改变量 （二）函数连续的概念 （三）连续函数的运算法则 （四）连续区间与连续函数 （五）利用函数连续性求函数极限 教学过程设计： 1-引入 通过一卖苹果的小贩，声称“5 斤以内 10 元一斤，5 斤以上 8 元一 斤”来引入连续的概念。 2-互动 Q1：函数连续的图像有什么特点？ Q2：函数在一点连续与极限存在之间的关系？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、函数改变量 二、函数连续的概念 函数在一点处连续的定义 单侧连续 函数在一点连续与极限存在之间的关系 三、连续函数的运算法则 连续区间与连续函数 连续函数的运算法则 四、利用函数连续性求函数极限 4-收尾 请学生预习§2.8 函数的连续性（2）等相关内容并练习课本 77 页的 习题 32、36。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题二（A）37、38（1）、 （2）、42（2） ； 讨论和思考题： 函数在一点不连续有哪几种情况？ 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 2016 年 8 月 隋如彬 微积分 科学出版社 2012 年 7 月 课后小结： 本节通过函数在一点处连续的定义，让学生掌握判断简单函数（含分段函数） 在一点处连续的方法，理解函数在一点连续与极限存在之间的关系，掌握利用函 数连续性求函数极限的方法，让学生理解续函数就是刻画变量连续变化的数学模 型，为下节课函数的间断点相关知识打下基础。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第二章 §2.8 函数的连续性（2） 课程教案 授课题目（教学章、节或主题）： 函数的连续性（2） 授课时间 第 8 周第 3、4 教学器材与工具 节 多媒体、白板 安 排 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1.了解函数的间断点的定义。 2.了解函数的间断点的类型。 3 掌握判断函数的间断点及确定其类型的方法。 4.理解闭区间上连续函数的性质。 5.掌握介值定理的应用（特别是零值定理） 。 6.课程思政点及融入方式:整体性融合——做事沉着冷静、不急于求成，遵 循万事万物原本的发展规律。 教学重点及难点： 1、本节重点内容包括：求函数的间断点及确定其类型。 2、本节难点是判断间断点的类型（特别是可去与跳跃） ；介值定理的应用。 教 学 基 本 内 容 （可增加页） （一）函数的间断点 （二）函数的间断点的类型 （三）闭区间上连续函数的性质 （四）介值定理的应用 教学过程设计： 1-引入 通过函数在一点连续的三个充要条件若有一条不满足引入函数的间 断点的定义。 2-互动 Q1：函数在一点间断的图像有什么特点？ Q2：闭区间上的连续函数一定能够取得最大值和最小值这个结论中 的两个条件: (1) 闭区间; (2)连续.缺一还能成立吗？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、函数的间断点 二、函数的间断点的类型 第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点； 第二类间断点：无穷间断点 三、闭区间上连续函数的性质 振荡间断点； 有界性定理、最值定理、介值定理 4-收尾 请学生复习§2.8函数的连续性等相关内容并练习课本77-18页的习 题 31（1） 、 （5）；39。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题二（A）31（2）、（4） 、 （6）；41； 讨论和思考题： 举例说明闭区间上的连续函数一定能够取得最大值和最小 值的两个条件缺一不可。 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 隋如彬 课后小结： 微积分 科学出版社 2016 年 8 月 2012 年 7 月 本节通过函数在一点连续的三个充要条件若有一条不满足引入函数的间断 点的定义，让学生了解判断函数的间断点及其类型的方法，掌握介值定理的应用； 为以后课程的相关知识打下基础。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第三章 §3.1—§3.2 导数的概念 课程教 案 授课题目： 引入导数概念的例题，导数概念 授课时间 第 9 周第 1、2 教学器材与工具 节 多媒体、白板 安 排 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1.理解导数的物理意义与几何意义。 2.理解导数的概念，及函数连续与可导的关系。 3.掌握求函数导数的基本步骤，并求解简单函数的导数。 4.课程思政点及融入方式:整体性融合——万事万物都有其内在联系和其自 身的发展规律，规律往往不可战胜。 教学重点及难点： 1、本节重点内容包括：导数的概念，导数的物理意义与几何意义，求导的 基本步骤，可导与连续的关系。 2、本节难点为导数概念与求导的基本步骤。 教 学 基 本 内 容 （可增加页） 第三章 导数与微分 §3.1 引入导数概念的例题 §3.2 导数的概念 教学过程设计： 1-引入 通过物理学中物体作变速直线运动的瞬时速度问题及几何学中曲线 的切线问题引入函数的导数。 2-互动 Q1：通过物理与几何上的应用，总结出导数的定义？ Q2：导数的概念与极限、连续的概念之间有什么联系？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、引入导数概念的例题 1.导数的物理引例与几何引理 二、导数的概念 1.导数的定义。 2.导函数的定义，左右导数的定义，可导的充要条件。 3.求导数的方法与步骤。 4.可导与连续的关系。 4-收尾 请学生预习第三节导数的基本公式与运算法则的相关内容并练习课 本后习题。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题 P111, 2, P112 10, 14； 讨论和思考题：针对不同类型的函数，如何求其导数？ 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 隋如彬 微积分 科学出版社 2016 年 8 月 2012 年 7 月 课后小结： 导数和微分是《微积分》的两个重要组成部分之一，本节利用极限来定义导 数，一方面可以复习极限的内容，强化学生对极限概念的理解，并引导学生将极 限、连续和导数的概念联系起来，对比这三个概念的知识点，激发学生的学习兴 趣，另一方面引导学生对微分学和积分学有一个清醒和准确的认识，注重微积分 中基本符号的引进和使用，希望通过自己的不断努力和学生的勤奋学习，让学生 真正领悟到微积分学的真谛。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第三章 §3.3 导数的基本公式与运算法则 课程教案 授课题目： 导数的基本公式与运算法则 授课时间 第 10 周第 4 节 教学器材与工具 多媒体、白板 安 排 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1. 熟练掌握求导数的四则运算法则。 2. 熟练掌握基本初等函数的求导公式。 3. 熟练掌握复合函数的求导公式。 4. 熟练掌握反函数的求导公式。 5. 熟练掌握隐函数的求导公式。 6. 熟练掌握由参数方程确定的函数的求导公式。 7.课程思政点及融入方式:目的性融合——求真、紧抓本质才能明白事物的 真正发展规律。 教学重点及难点： 1、本节重点内容包括：导数的四则运算法则，基本初等函数的求导公式， 复合函数的求导公式，反函数的求导公式，隐函数的求导公式，由参数方程确定 的函数的求导公式。 2、本节难点是：复合函数的求导公式，反函数的求导公式，隐函数的求导 公式，由参数方程确定的函数的求导公式。 教 学 基 本 内 容 （可增加页） 第三章 导数与微分 §3.3 导数的基本公式与运算法则 教学过程设计： 1-引入 通过导数的定义引入导数据基本公式与各种函数的求导法则。 2-互动 Q1：通过适当的例子，总结出导数的基本公式与运算法则？ Q2：区别不同函数类的求导公式，强化对求导法则的理解。 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、导数的基本公式与运算法则 1.常数函数与幂函数的求导法则。 2.导数的四则运算法则。 3.基本初等函数的求导公式。 4.复合函数的求导公式。 5.反函数的求导公式。 6.隐函数的求导公式。 7.由参数方程确定的函数的求导公式。 4-收尾 请学生预习第四节高阶导数的相关内容并练习课本后习题。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题 P113 17(1)、（5）， 21（13）， P114 23（1），24 （1），26（1）， 27（1）， P115 30（1） ； 讨论和思考题：针对不同类型的函数，如何求其导数？ 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 隋如彬 微积分 科学出版社 2016 年 8 月 2012 年 7 月 课后小结： 各种求导公式与求导法则是微积分的基本内容之一，也是后续内容的基础。 本节利用导数的定义来引出各种求导公式与求导法则。要求学生通过一定量的练 习，熟练掌握各种求导公式与求导法则。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第三章 §3.4 高阶导数 课程教案 授课题目： 高阶导数 授课时间 第 11 周 第 1 、 2 教学器材与工具 节 多媒体、白板 安 排 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1.理解高阶导数的概念。 2.掌握求高阶函数导数的方法及常用的高阶导数公式。 3.课程思政点及融入方式:目的性融合——优化思想在改革开放进程中对我 国社会和人类发展中的重大影响，决定“四个自信”。 教学重点及难点： 1、本节重点内容包括：高阶导数的概念与求解方法。 2、本节难点为高阶导数的求解方法。 教 学 基 本 内 容 （可增加页） 第三章 导数与微分 §3.4 高阶导数 教学过程设计： 1-引入 通过物理学中变速直线运动的加速度问题引入函数的高阶导数。 2-互动 Q1：通过高阶导数的定义，求解基本初等函数的高阶导数？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、引入高阶导数概念的例题 1.导数的物理引例。 二、高阶导数的概念 1.高阶导数的定义。 2.高阶导函数的求导公式。 3. 常用 n 阶导数公式。 4-收尾 请学生预习第五节微分的相关内容并练习课本后习题。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题 P116 46（3）， 47（1） ， 51； 讨论和思考题：针对不同类型的函数，如何求其高阶导数？ 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 隋如彬 微积分 科学出版社 2016 年 8 月 2012 年 7 月 课后小结： 高阶导数是导数的后续内容，其求导公式即为导数的求导公式，只是在导函 数的基础上再求导数。通过本节内容的学习，一方面强化对求导公式的熟练程度， 另一面为后面微分和高阶微分的学习打下基础。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第三章 §3.5 函数的微分 课程教案 授课题目： 函数的微分 授课时间 第 11 周 第 1 、 2 教学器材与工具 节 多媒体、白板 安 排 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1. 理解微分的概念。 2.理解可微与可导的关系。 3.理解微分的几何意义。 4.掌握基本微分的公式和微分法则。 5.掌握微分的形式不变性。 6.掌握微分在近似计算中的应用。 7.课程思政点及融入方式:目的性融合——个人利益无条件服从整体利益， 局部利益无条件服从全局利益。 教学重点及难点： 1、本节重点内容包括：微分的概念，基本微分的公式和微分法则，微分的 形式不变性及微分在近似计算中的应用。 2、本节难点为微分的形式不变性及微分在近似计算中的应用。 教 学 基 本 内 容 第三章 导数与微分 §3.5 函数的微分 教学过程设计： 1-引入 通过几何引例引入微分的概念。 2-互动 Q1：如何通过微分的定义与基本求导公式得到基本微分的公式和微 分法则？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、引入微分概念的例题 1.微分的几何引例 二、微分的概念、微分公式及应用 1.微分的定义。 2.可微与可导的关系。 3.微分的几何意义。 4.基本微分的公式和微分法则。 5.微分的形式不变性。 6.微分在近似计算中的应用。 4-收尾 请学生复习导数与微分的相关内容并练习课本后习题。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题 P116 57（1）、（3） 、 （8） ； 讨论和思考题：针对不同类型的函数，如何求其微分？ 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 隋如彬 微积分 科学出版社 2016 年 8 月 2012 年 7 月 课后小结： 函数的微分是微积分的重要内容之一，对于一元函数而言，可视导数与微分 等价。通过本节内容的学习，一方面可以强化学生对求导法则与公式的熟练程度， 另一方面可以为多不定积分打下基础。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 第四章 §4.1 中值定理 附件 3： 课程教案 授课题目（教学章、节或主题）： 4.1 中值定理 授课时间 安 排 第 13 周第 1-2 节 教学器材与工具 多媒体、白板 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1．理解函数导数与微分的核心思想 2．理解罗尔定理与拉格朗日中值定理； 3．掌握定理的初步应用； 4．了解柯西中值定理。 5.课程思政点及融入方式:整体性融合-----人的意识形态受思维能力、环境、信 息、价值取向等因素影响。不同的意识形态，对同一种事物的理解、认知也不同。 教学重点及难点： 1．罗尔定理的推导以及相关理论证明 2．拉格朗日定理及初步应用 教 学 基 本 内 容 （可增加页） 第四章 中值定理与导数的应用 §4.1 中值定理 教学过程设计： 1-引入 带领同学们回忆在第二章中学习的有关连续函数的性质，回顾在第三章 中有关导数以及导函数的求解。 2-互动 研究函数的图象即曲线的某些性态： Q1 对于函数在区间端点处取值相等时，其对应的切线斜率有什么样的性质？ Q2 对于函数在区间端点取值不相等的情况下，是否存在一点，在这点处曲线 的切线斜率，跟连接区间端点的直线的斜率一样？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、罗尔定理 罗尔定理的三个条件： 1．在闭区间[a,b]上连续 2．在开区间（a,b）内可导 3． f (a)  f (b) ，即在两端点处的函数值相等。 1 罗尔定理中的三个条件是充分条件, 缺一不可.否则结论不一定成立；○ 2 4．说明○ 罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的。 二、拉格朗日定理 1．介绍拉格朗日定理的基本条件 2．给出相应的几何解释 3．证明拉格朗日定理 4．由定理出发，引出相应的推论。 三、柯西定理 1．介绍定理需要满足的条件 2．说明柯西定理和以上两个定理之间的关系 3．定理的初步应用举例 4-收尾 联系本节课的内容，请同学们预习洛必达法则的有关知识点，并练习课 本 p157，第 1,2 两题。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本小节作业：1，习题四（A）2（2），3 2，思考题：试举出满足罗尔定理定理结论，但是不满足罗尔 定理条件的例子？ 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 2016 年 8 月 隋如彬 微积分 科学出版社 2012 年 7 月 课后小结： 本节课是导数以及微分课程的延伸，对于以后学习洛必达法则求极限奠定重 要的理论基础。熟练掌握微分中值定理，有助于我们在求解一些重要的等式方面， 使用更为简单有效的方法。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 第四章 §4.2 洛必达法则 课程教案 附件 3： 授课题目（教学章、节或主题）： 4.2 洛必达法则 授课时间 安 排 第 13 周第 3-4 节 教学器材与工具 多媒体、白板 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1．理解洛必达法则的使用条件 2．掌握洛必达法则在求极限中的应用 3．掌握不同类型的极限如何转化使用洛必达法则 4.课程思政点及融入方式:整体性融合——大学期间就是不断完善自己的人生观、 价值观和世界观的过程，积极向上的人生态度非常重要。 教学重点及难点： 1．洛必达法则的使用条件 2．洛必达法则的应用 ¥ 类型极限的转化问题 3． 0× 教 学 基 本 内 容 （可增加页） 第四章 中值定理与导数的应用 §4.2 洛必达法则 教学过程设计： 1-引入 前次已经学习了中值定理，现在开始学习导数的应用，首先介绍导数用于求未定式 的极限——罗比达法则 ¥ 的求解方法： 2-互动 回顾之前在第二章中某些极限，例如 0× ¥ 类型的极限是否存在别的变化方法？ Q1 对于 0× Q2 如果采用§4.1 中学习的中值定理是否可以存在某种替换关系，使得计算 极限变的简单？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、洛必达法则 使用洛必达法则的三个条件： 设 f(x)，g(x)满足条件： （1） lim f (x)  0， lim g(x)  0(或  )； x x0 x x0 （2）f(x)，g(x)在点 x0 的某去心邻域内可导，且 g'(x)  0 ； （3）极限 lim f '(x) =A(或  )；则 x x0 g'(x) f (x) f '(x) 。  lim x x g(x) x x g'(x) lim 0 0 二、定理的证明 以0 0 型的极限为例进行定理的证明。注意在学习的过程中，回顾上节课中学习的柯西 中值定理。 三、洛必达法则的应用及说明 ① 定理中是考虑 ¢ lim gf ¢((xx)) ，而不是 lim( gf ((xx)) )¢． x®a x®a f ¢( x) 2 定理的条件是结论的充分但不必要条件，即 lim ○ g¢( x) x®a 不存在时，不能断定原极限 lim gf ((xx)) 不存在，需用其它方法去处理. x®a 4-收尾 联系本节课的内容，请同学们使用洛必达法则的有关知识点求解相关的 练习题，进行极限的求解。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本小节作业：1，习题四（A）9, 10 x2 sin1x 2xsin1x- cos1x 2，思考题： lim sin x 用罗比达法则得 lim cosx ，此极限不 x®0 x®0 存在，但是是否真的不存在呢？ 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 2016 年 8 月 隋如彬 微积分 科学出版社 2012 年 7 月 课后小结： 罗比达法则是求未定式极限的重要工具，掌握最基本的类型以及其它未定式转化成基本类型 的方法。但注意它不是万能的，即并非所有未定式极限都能用此法则去求，如 x -x lim ex - e- x ， lim x®¥ e +e x®¥ x 2 2 a +x ， x lim x+sin x 等，事实上用第二章介绍的方法 x®¥ 都很容易求。它与第二章所述方法是相辅相成的。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第四章 §4.3-4.4 函数的增减性、函数的极 值 课程教案 授课题目（教学章、节或主题）： 4.3 函数的增减性 4.4 函数的极值 授课时间 安 排 第 14 周第 1-2 节 教学器材与工具 多媒体、白板 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1．理解函数单调性的定义 2．函数增减性的判别定理 3．掌握函数的单调区间求解方法以及函数的极值求解方法 4.课程思政点及融入方式:重点要素融合——生活中不是缺少美,而是缺少发现美的眼 睛。 教学重点及难点： 1．求函数的单调区间 2．求函数的极值 3．学会手绘函数的大致图像 教 学 基 本 内 容 （可增加页） 第四章 中值定理与导数的应用 §4.3 函数的增减性 §4.4 函数的极值 教学过程设计： 1-引入 函数单调性的基本定义是什么？对于单调函数的图像的变化趋势是什么 样子？曲线的切线有什么样的特性？ 2-互动 画出一条简单的函数曲线，选择一个点，作出通过该点的切线： Q1 当函数单调增加时，切斜的斜率有什么样的共性？ Q2 如果曲线是单调递减的，那么对应的切线的变化趋势又是什么样的？ Q3 如果曲线切线是水平的，这时曲线有什么特性？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、函数的单调性 函数单调性的判别法：设函数 f(x)在(a,b)内可导, 定理 （1）若  x (a,b) ，有 f '(x)  0 ，则 f(x)在(a,b)上单调增加； （2）若  x (a,b) ，有 f '(x)  0，则 f(x)在(a,b)上单调减少。 注：个别点使得 f'(x)  0，不影响函数的单调性。 二、定理的证明 结合函数的图像以及变化趋势进行简要的说明 三、函数的极值定义及定理 1、定义：设函数 f(x)在 x0 的一个  邻域 x   , x   内有定义，对任意的 x x0   , x0   ， 都有 f x f x0 ，则称 f x0 为 f x的一个极大值；若是 f x f x0 ，则称 f x0  为 f x的一个极小值。 2、定理：若 f x在 x0 点有极值 f x0 ，且 f x0 存在，则 f x0 =0。 4-收尾 联系本节课的内容，请同学们使用函数单调性的判别定理，求解函数的 极值以及单调区间，并进行相应的练习。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本小节作业：1，习题四（A）16, 20 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 2016 年 8 月 隋如彬 2012 年 7 月 微积分 科学出版社 课后小结： 1、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.其主要应用：利用函数的单调性可 以确定某些方程实根的个数和证明不等式. 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 第四章 §4.5 最大值与最小值，极值问题 附件 3： 的应用 课程教案 授课题目（教学章、节或主题）： 4.5 最大值与最小值，极值问题的应用 授课时间 安 排 第 14 周第 3-4 节 教学器材与工具 多媒体、白板 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1．理解函数极值的求解方法 2．掌握极值的第二充分条件的使用 3．掌握函数的最值以及实际问题的求解 4.课程思政点及融入方式:重点要素融合——数学的抽象美和辩证美。 教学重点及难点： 1．利用极值的第二充分条件求解极值 2．针对实际问题中求解函数极值 教 学 基 本 内 容 （可增加页） 第四章 中值定理与导数的应用 §4.5 最大值与最小值、极值的应用问题 教学过程设计： 1-引入 函数在导数等于 0 的点能够取得极值？那么这个极值点跟函数在区间上 的最值点有什么关系呢？二者是否等价呢？ 2-互动 画出在一个闭区间上，几种不同类型走势的函数曲线： Q1 当函数在一点的导数等于 0 时，如果是极小值点，是不是最小值？ Q2 如果区间的端点取到最值时，这时应该需要经过什么样的判断才能断定， 函数的最指点位于区间的端点？ Q3 给一块铁皮，如何才能做成一个容积最大的容器？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、最值问题 1、定义：对于函数 f(x)， x0 是区间 I 上的一点，若任意属于区间 I 上的 x， 都有 f(x)>=f( x0 ) f(x)<=f( x0 ), 则称 f( x0 ) 是 f(x) 在区间 I 上的最小值， x0 为最小值点； 则称 f( x0 ) 是 f(x)在区间 I 上的最大值， x0 为最大值点。 注：注意： 1 函数的最大值和最小值统称最值；最小值点和最大值点统称最值点； ○ 2 最值是整体概念； ○ 3 最值是唯一的，最值点不唯一； ○ 4 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值 ○ 二、实例求解 举出实际的例证，进行分析求解函数的最值以及对应的极值。 4-收尾 联系本节课的内容，请同学们使用极值的判定定理，对函数或者实际问 题转化而来的函数，进行极值的求解，同时判定极值与最值之间的关系。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本小节作业：1，习题四（A）22, 24 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 2016 年 8 月 隋如彬 微积分 科学出版社 2012 年 7 月 课后小结： 注意最值与极值的区别，最值是整体概念而极值是局部概念；实际问题求最值的步 骤.。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第四章 §4.6 曲线的凹向与拐点 课程教案 授课题目（教学章、节或主题）： 4.6 曲线的凹向与拐点 授课时间 安 排 第 15 周第 1-2 节 教学器材与工具 多媒体、白板 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1．理解函数上凸以及下凹的区别与联系 2．掌握函数拐点的求解方法 3．掌握函数草图的基本绘制方法 4.课程思政点及融入方式:重点要素融合——能用所学知识解决现实问题，真正 做到学以致用。 教学重点及难点： 1．分析函数图像的基本性质 2．依据函数性质，对函数的草图进行绘制 教 学 基 本 内 容 （可增加页） 第四章 中值定理与导数的应用 §4.6 曲线的凹向与拐点 教学过程设计： 1-引入 对于简单的函数，给出其对应的区间之后，如何描绘出相应的图像？结 合单调性，回顾对应的曲线特点是什么？ 2-互动绘制简单且具有代表性的几个函数图像，选取函数图像上的几个点，并在 该点绘制函数的切线，和同学们一起观察有什么特点： Q1 如果函数的弧线都位于切线以上，这种曲线有什么特点？ Q2 如果函数的弧线都在切线以下，这种曲线有什么特性？ Q3 当函数曲线的切线经历由全部位于函数图像以下到函数图像以上的改变 之后，在改变点处，有什么特性？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、曲线的凹向和拐点 1、凹向及拐点的定义： 如果在某个区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则称曲线在这个 区间上是上凹的；如果在某个区间内曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称 曲线在这个区间上是下凹的。 曲线上凹和下凹的分界点称为曲线的拐点。 注意：拐点是曲线上的点，因此必须用一对有序实数对来表示。 2、凹向的判别 定理：设函数在区间 a, b内具有二阶导数，那么 （1）如果 x a, b时，恒有 f x 0 ，则曲线在 a, b内上凹； （2）如果 x a, b时，恒有 f x 0 ，则曲线在 a, b内下凹。 二、实例求解以及求解函数的渐近线 举出例子，判断函数的凹向以及凸向，学会求解函数的渐近线 三、绘制函数的草图 根据上面的判别，利用单调性方面的知识，绘制函数简单的草图 4-收尾 联系本节课的内容，请同学们使用函数凹凸向之间的性质，进行判定函 数的走势，并采用极限的方法，求解函数的渐近线。根据判定的单调性，手绘函 数图像 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本小节作业：1，习题四（A）32, 33 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 2016 年 8 月 隋如彬 微积分 科学出版社 2012 年 7 月 课后小结： 注意曲线的凹向和拐点的求法；函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用 的综合考察. 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第一章 §5.1—§5.3 不定积分的概念、性 质和公式 课程教案 授课题目： 不定积分的概念、性质和公式 授课时间 第 16 周 第 1 、 2 教学器材与工具 节 多媒体、白板 安 排 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1.理解原函数的概念。 2.理解不定积分的概念。 3.了解不定积分的几何意义。 4.掌握不定积分的性质。 5. 熟练掌握不定积分的基本公式表。 6.课程思政点及融入方式:重点要素融合——做出定断之前要全方位思考， 并且要进行学会移情思考。 教学重点及难点： 1、本节重点内容包括：原函数的概念、不定积分的概念、不定积分的基本 公式。 2、本节难点主要是不定积分的性质及应用。 教 学 基 本 内 容 （可增加页） 第五章 不定积分 §5.1 不定积分的概念 §5.2 不定积分的性质 §5.3 基本积分公式 教学过程设计： 1-引入 通过应用题的举例，即由函数的已知导数（或微分）求原来的函数 的问题引入积分学的基本问题之一，求不定积分。 2-互动 Q1：在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ？ Q2：若原函数存在, 它如何表示 ？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、原函数的概念 二、不定积分的概念  注: 由定义知, 求函数 f (x) 的不定积分, 就是求 f (x) 的全体原函数, 在 f (x)dx中, 积 分号  表示对函数 f (x) 实行求原函数的运算, 故求不定积分的运算实质上就是求导(或求 微分)运算的逆运算。 三、不定积分的几何意义 四、不定积分的性质 五、基本的积分公式表 4-收尾 请学生利用不定积分的运算性质和基本积分公式, 直接求出不定积 分。练习课本 167 页的例 5，例 6。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题五（A）1、3 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 隋如彬 微积分 科学出版社 2016 年 8 月 2012 年 7 月 课后小结： 本节作为积分学的开篇，承前启后，要使学生理解求不定积分的本质就是求 导运算的逆运算，.本节重点掌握不定积分的概念及其公式. 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 附件 3： 第五章 §5.4 换元积分法 课程教案 授课题目（教学章、节或主题）： 换元积分法 授课时间 第 1 6 周第 3、4 教学器材与工具 节 多媒体、白板 安 排 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1.理解并熟练掌握不定积分的第一类换元积分法。 2.理解并熟练掌握不定积分的第二类换元积分法。 教学重点及难点： 1、本节重点内容包括：不定积分的两种换元法。 2、本节难点主要是不定积分第二类换元法中的三角替换。 教 学 基 本 内 容 （可增加页） 第五章 不定积分 §5.4 换元积分法 教学过程设计： 1-引入 通过举例说明能用直接积分法计算的不定积分是十分有限的，从而 引入本节的换元积分法。 2-互动 Q1：不定积分基本公式提问抢答。 Q2：举例提问复合函数如何求积分？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、第一类换元积分法(凑微分法) g[ (x)] (x)dx g(u)du F (u)  C  F [ (x)] C 二、常用凑微分公式 三、第二类换元法 f (x)dx f [ (t)] (t)dt F (t)  C  F [ (x)] C 4-收尾 请学生熟记两类换元法并练习课本 171 页的例 1，173 页例 7。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题五（A）7（1） （3）（5）8（1） （3）（5） ； 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 2016 年 8 月 隋如彬 微积分 科学出版社 2012 年 7 月 课后小结： 本节主要目地是使学生掌握换元积分法,即将复合函数的求导法则反过来用 于不定积分,通过适当的变量替换(换元),把某些不定积分化为基本积分公式表中 所列的形式,再计算出所求的不定积分. 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 第五章 §5.5 分部积分法 附件 3： 课程教 案 授课题目（教学章、节或主题）： 分部积分法 授课时间 第 1 7 周第 1、2 教学器材与工具 节 多媒体、白板 安 排 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1. 理解并熟练掌握计算不定积分的分部积分法 2.课程思政点及融入方式:重点要素融合——处理问题化难为易的能力。 教学重点及难点： 1、本节重点内容包括：不定积分的分部积分法。 2、本节难点主要是分部积分法里如何选择适当的函数 u(x)和 v(x)。 教 学 基 本 内 容 （可增加页） 第五章 不定积分 §5.5 分部积分法 教学过程设计： 1-引入 通过举例说明有些不定积分用直接积分法或换元积分法是计算不出 来的，从而引入本节的分部积分法。 2-互动 Q1：提问两函数乘积的导数公式是什么？ Q2：两函数乘积的导数公式两边同时求不定积分得到什么结果？ Q3：分部积分公式里的 u 和 v 的选择原则是什么? 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、分部积分公式： udv uv vdu uvdx uv uvdx 分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 二 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中 m, n 都是正整数). xn sinmx xn cosmx enxsinmx enx cosmx xnemx xn(lnx) xn arcsinmx xn arccos mx xn arctan mx等. 4-收尾 请学生熟记分部积分法并练习课本 176 页的例 2，例 5。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题五（A）10（1）（2）（3） （4）（7） （10） ； 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 隋如彬 课后小结： 微积分 科学出版社 2016 年 8 月 2012 年 7 月 本节主要目地是使学生掌握分部积分法，分部积分法实质上就是求两函数乘 积的导数(或微分)的逆运算.应用分部积分法时关键要恰当的选择函数 u(x)和 v(x)。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。 第五章 §5.6 综合杂例 课程教案 附件 3： 授课题目（教学章、节或主题）： 综合杂例 授课时间 第 1 7 周第 3、4 教学器材与工具 节 多媒体、白板 安 排 授 课 类 型 理论课√ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 双语课□ 全英课□ （请打√） 其他□ 教学目的、要求（对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、 “理解”三个层次；对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或 能”、 “掌握” 、 “熟练掌握”）： 1. 初步学会综合使用学过的积分法； 2. 会计算简单分式的不定积分。 3.课程思政点及融入方式:目的性融合——自学、自测、自我管理、自我解 决问题的能力。 教学重点及难点： 1、本节重点内容包括：综合应用学过的积分法；计算简单分式的不定积分。 2、本节难点主要是几种积分法的综合应用、有理分式的分解和计算。 教 学 基 本 内 容 （可增加页） 第五章 不定积分 §5.6 综合杂例 教学过程设计： 1-引入 A.通过适当的题目，引导学生综合使用多种积分法计算出不定积分； B.通过举例引入一些比较简单的特殊类型函数的不定积分。 2-互动 Q1：举例提问一些特殊类型的分式如何变形？ Q2：有理分式如何分解？ 3-内容 通过简单板书导入案例，板书采用提纲分段式： 一、综合杂例 二、最简分式的积分 下列四类分式称为最简分式,其中 n 为大于等于 2 的正整数., A 、 M 、 N 、 a 、 p 、 q 均为常数,且 p2  4q  0 . (1) A ； x a Mx N (3) 2 ； x  px q A ； (x  a)n Mx N (4) . 2 (x  px q)n (2) 三、有理分式化为最简分式的和 4-收尾 请学生掌握有理函数的积分并练习课本 178 页的例 3。 教学方法及手段（请打√）：讲授√、讨论√、多媒体讲解√、模型、实物讲解 □、挂图讲解□、音像讲解□等。 作业、讨论题、思考题： 本授课单元作业：习题五（A）12 参考资料（含参考书、文献等）： 刘国刚 微积分 吉林大学出版社 隋如彬 课后小结： 微积分 科学出版社 2016 年 8 月 2012 年 7 月 本节主要目的是使学生初步学会综合使用各种积分方法、掌握简单的分式的 不定积分。 填表说明： 每项页面大小可自行添减，一节或一次课写一份上述格式教案。