随机变量函数的分布列.doc

§ 2.3 随机变量函数的分布列 在实际问题中,不仅要研究随机变量,往往还要研究随机变量的函数.例如某剧院每场演出 所售出的门票数是一个随机变量,而票房的收入就是售出门票数的函数;又如在分子物理学中, 忆知分子的速度 v 是一个随机变,这时分子的动能 w  1 2 mv 也是一个随机变量 v 的一个函 2 数.下面讨论一个实际例子. 例 2.10 进口某种货物 n 件,每件价值 a 元,按合同规定,如果在 v 件货物中发现一件不合 格品,则出口方应赔偿 2a 元.易知,n 件货物中的不全格的件数  是一个随机变量,而出口方应 赔偿的钱数  =2a  又是一个随机变量.如果每件货物可能为不合格品的概率是 p,则由§2.1 知 n P (  k)  b(k; n, p)   P k qnk ,0  k  n k 其中 q=1-p,这是一个二项分布.因为每出现 k 件不合格品即当  =k 时,赔款数就是 2ak,即  =2ak;反过来,如果赔款数为 2ak,则不合格品数一定为 k.所以事件  =k 等价于事件 =2ak,也就 是 (  2ak)  (  k),0  k  n 从而 n P (  2ak)   pk qnk ,0  k  n k 于是  的分布列由  的分布列所完全决定.对一般情形,若  是一个离散型随机变量,f(x)是实 变量 x 的单值函数,则当  只取有限个或可列个值,  =f(  )也只取有限个或可列个值,如果 的可能取值为 bi (i  1,2, ) ,令 Bi  {a j : f (a j )  bi } 则有 (  bi )  (  Bi ) 于是 P (  bi )  P (  Bi ) =  P(  aj ),i  1,2, a j  bi 所以 的分布列由  的分布列完全确定. (2.20) 例 2.11 (略)见 P77 例 2.12 (略)见 P78