多维随机变量；联合分布列和边际分布列.doc

§ 2.2 多维随机变量,联合分布列和边际分布列 在上一节中我们讨论了一维随机变量,已经知道所谓一维随机变量无非是随机试验的 结果和一维实数之间的某个对应关系.但在许多实际问题中,对于每一个试验结果,往往同时 对应有一个以上的实数值.如在例 2.1 中,对每一台出厂的电视机来说,除了一年中发生故障次 数以外,还可以考察一年中实际工作的小数,一年中损坏的元件数等数据.一般地说,每个试验 结果可以有 n 个数值与之对应,这时就称这种对应关系是一个 n 维随机变量,也称为 n 维随机 变量.如同§ 2.1 中所给出的一维离散型随机变量的定义,现在给出 n 维离散型随变量的定义. 定 义 2.2 设 1,2  ,n 是 样 本 空 间Ω 上 的 n 个 离 散 型随 机变 量, 则称 nh 维向 量 ( 1,2  ,n )是Ω上的一个 n 维离散型随机变量或 n 维随机向量. 如同数学分析中大家所熟悉的那样,从一维到多维会增添许多新的问题.为了叙述和学 习的方便起见,下面着重讨论二维的离散型随机变量. 设(ξ, η)是一个二给离散型随机变量,它们一切可能取的值为 (ai ,bi ),i, j  1,2 令 Pi , j  P (  ai ,  bj ),i, j  1,2, 称( (Pi , j ;i, j  1,2 )是二维随机变量(ξ, η)的联合分布列.如同一维时的论述,容易证 明二维联合分布列具有下面三个性质: (1) (2) Pi , j  0,i, j  1,2, ;   1 1 (2.15) i j Pi j  1; (2.16) ,    j 1 (3)   P (  bj )   Pi , j  P• j   i 1  P (  ai )   Pi , j  Pi•  (2.17) 其中(1).(2)是显然的,现在骓(3).由联合分布列的定义及全概率公式有          P (   i )  P (   i )   (  bj ) j 1    1  j (  ai )  (  bi ) = P =   j 1 j 1  P{(  ai )  (  bi )}  Pij 同理可得  P (  bj )   Pij i 1  如果记  j Pij  Pi i Pij  P j ，即可得到（2.17）  1  1 现在看一个比较简单的例子. 例 2.7 把三个相同的球等可能地放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,记落入 1 号盒子中的 球的个数为  ,落入第 2 号盒子中球的个数为  ,则(  , )是一个二维随机变量,其中  和  的 可能取值为 0,1,2,3.现在来找(  , )的联合分布列.由条件概率的定义易知有 Pij  P (  i,  j ) = P (  i |  j ) P (  j ),0  i  j  3 这时显然有 j 3 j 31 2 P (  j )       ,0  j  3 j 3 3 i 3 j i 3 j 1  1  P (  i |  j )        i 2 2 3 j 3 j 1    i  2 ,0  i  j  3    于是 3 j j 3 j 3 j 1  31 2 Pij           i 2 j 3 3 = 1 3! ,0  i  j  3 27i! j!(3 i  j )! 而当 i+j>3 或 i+j<0 时显然有 Pij =0 由前面的讨论和例 2.7 的计算中,都可以看出来,如果知道了二维随机变量(  , )的联合分 分布列,那么这时  和  的边际分布列即可由联合分布列求出.这件事实直观上是容易理解的, 因为(  , )总体的规律性如果确定了,那么它的个别分量的规律性当然也确定了. 例 2.8 (略)见 P73 定 义 2.3 设 离 散 型 随 机 变 量  的 可 能 取 值 为 ai (i  1,2 ),  的 可 能 取 值 为 bj ( j  1,2, ),如果对任意的 ai , bj ,有 P (  ai ,  bj )  P (  ai )P (  bj ) (2.18) 成立,则称离散型随机变量  和  是相互独立的.在这个例子中,  取什么值和  取什么值两 者之间确实是互不影响的,所以称它们相互独是可以理解的.现在不难把独性的概念推广到多 个离散型随机变量的场合,这就是下面的定义. 定义 2.4 设 1, ,n 是 n 个离散型随机量, i 的可能取值为 aik (i  1, , n; k  1,2, ) 如果对于任意的一组( a1k1 , , ankn ),恒有 P (1  a1k , ,n  ankn )  P (1  a1k ), P (n  ank ) 1 1 (2.19) 成立,则称 1, ,n 是相互独立的. 例 2.9 在 n 重贝努里试验中,令  1,若在第i次试验中事件A出现 0 若在第i次试验中事件A不出现 i   则 i (1≤i≤n)的可能取值为 1 或 0,对 ai =1 或 0((1≤i≤n),容易验证有 P (1  a1, , n  an )  P (1  a1), P ( n  an ) 成立,所以1, , n 是相互独立的随机变量. 1≤i≤n,