条件分布与条件数学期望.doc

§ 2.6 条件分布与条件数学期望 我们已经知道随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计规律,如果要同时研究两 个 随 机 变 量 , 就 需 要 它 们 的 联 合 分 布 列 . 设 二 维 随 机 变 量 为 (  , ), 其 可 能 的 取 值 为 (ai ,bj ),i, j  1,2 在例 2.7 中,为了计算联合分布列,曾得用条件概率的公式,也就是: P (  ai ,  bj )  P (  ai |  bj )P (  bj ) 其中 p(  ai |  bj ) 是表示  bj 的条件下,   ai 的概率,常常记作 pi| j 当固定 j 而变动 i 时,可以得到一列 pi| j ,i  1,2, , 容易验证有 (1) pi| j  0,i  1,2, ;  (2) i pi j  1. | 1 这说明 {pi| j ,i  1,2, ;}具有分布列的两个性质.事实上, {pi| j ,i  1,2, ;}确是一个分布 列,它描写了在   bj 的条件下,随机变量  的统计规律.当然,一般说来这个分布列与  原来 的分布列 pi不同,称为条件分布列.如果(  , )的联合分布列为 pi| j 为已知,则边际分布列为  pj   pij i 0 由此即可求得条件分布列 pi| j  pij pj (2.32) pj|i  pij pi  (2.33) 由对称性还有 反过来,如果已知 pi| j , pj 也可求得联合分布列 pij  pi| j pj ( pj|i pi) 在§2.2 中曾经讨论了随机变量的独立性,显然,当  与 是相互独立的随机变量时,有 pi| j  pi, pj|i  pj 成立. 既 然 pi| j 是 一 个 分 布 列 , 当 然 也 可 以 对 这 个 分 布 列 求 数 学 期 望 , 如 果  可 能 取 值 为 ai (i  1,2, ) ,我们引入下述定义. 定义 2.7 若随机变量  在 = bj 条件下的条件分布列为 pi| j ,又  i | ai | pi j   , | 1  则称 i ai pi j 为  在 = bj 条件下的数学期望,简称为条件期望,并记作 E{ |  bj } | 1 例 2.19 某射击手进行射击,每次射击击中目标的概率为 P(0