概率和频率.doc

§1.2 概率和频率 回忆引言中的试验 II，我们已经知道它是一个随机试验，并且空间  ={ w1 , w2 }，其 中 w1 ={取得白球}， w2 ={取得黑球} 是基本事件。在一次试验中虽然不能肯定是还是发生，但是我们可以问在一次试验中发生 w1 (或 w2 )的可能性有多大？由对称性，很自然地可以断定在一次试验中，出现 w1 (或 w2 )的 可能性是 1/2，因为我们知道盒子中白球数和黑球数都是 5 个，现在引入一个定义如下: 定义 1.1 随机事件 A 发生可能性大小的度量（数值） ，称为 A 发生的概率，记作 P（A）。 对于一个随机事件来说，它发生可能性大小的度量是它自身决定的，并且是客观存在的。 就好比一根木棒有长度，一块土地有面积一样，概率是随机事件发生可能性大小的度量，使 随机事件自身的一个属性。一个根本的问题是，对已各给定的随机事件自身的一个属性。一 个根本问题是，对一个给定的随机，它发生可能性大小的度量——概率，究竟是多大呢？在 前面的例子中，因为已经知道了盒子中的白球和黑球都是五个，才得以断定 P（ w1 ）=1/2。 如果反复多次地从盒子中取球（取道后放回搅拌），随着试验次数 n 的增大，比值 n白 会逐 n 渐稳定到 1/2,记 n白 出现w1的次数 = = f n （ w1 ） n 试验总次数 称 f n （ w1 ）为事件 w1 在 n 次试验中出现的频率。 现在让我们比较仔细的考察一下频率。如果随机事件 A 在 n 次反复试验发生 nA 次， 称 f n （A）= nA n 为 A 的频率。易知频率具有下述性质. 1. 非负性：即 f n （A）≥0； 2. 规范性：即若  是必然事件，则 f n （  ）=1； 3. 有限可加性：即若 A、B 互不相容（即 AB=  ），则 f n （A  B）= f n （A）+ f n （B） 这三条性质的论证时很直观的，因为 1. nA ≥0，所以 nA ≥0； n 2.  是必然事件，所以 n =n，从而 n =1； n 4. 若 A  B 发生，意味着 A、B 中至少发生其中之一，又因为 A 与 B 互不相容，所以 A  B 发生的次数一定是 A 发生次数与 B 发生次数之和，即 nA B  nA  nB ，从而有 f n （A  B）= f n （A）+ f n （B） 成立