4 数字特征习题.doc

94 年 （1）已知 A、B 两个事件满足条件 P（AB）=P（ A B ） ，且 P（A）=p， 则 P（B）= 。 （3 分） （2）设相互独立的两个随机变量 X ,Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为 X 0 1 P 1 2 1 2 则随机变量 z =max{X ,Y}的分布律为 。 （3 分） 2 2 （3）已知随机变量 X ,Y 分别服从正态分布 N (1,3 ) , N (0,4 ) ，且 X ,Y 的相关系数 r xy =- 1 X Y ，设 z = + , 2 3 2 （1）求 Z 的数学期望 EZ 和方差 DZ ； （2）求 X 与 Z 的相关系数 r xz ； （3）问 X 与 Z 是否相互独立？为什么？（满分 6 分） 95 年 （1）设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4，则 X 2 的数学期望 E ( X ) = 2 。 3 7 4 7 （2）设 X ,Y 为两个随机变量，且 P {X ³ 0,Y ³ 0}= , P {X ³ 0}=P {Y ³ 0}= , 则 P {max( X ,Y ) ³ 0}= （3） 。 设随机变量 X 的概率密度为 e x f X (x)    0, x 0 x 0 X 求随机变量 Y  e 的概率密度 fY ( y) 。 （6 分） 96 年 1． 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A 厂和 B 厂的产品分 别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是 A 厂生产的概率是 。(3 分) 2． 设 x ,h 是 两 个 相 互 独 立 且 均 服 从 正 态 分 布 N （ 0 ， E (|   |)  。(3 分) 1 ）的随机变量，则 2 3 ． 设 x ,h 是 相 互 独 立 且 服 从 同 一 分 布 的 两 个 随 机 变 量 ， 已 知  的 分 布 律 为 1 3 P (x =i ) = ,i =1,2,3, 又设 X =max(x,h ),Y =min(x,h ). （1） 写出二维随机变量（X，Y）的分布律； X 1 Y 2 3 1 2 3 （2） 求 EX。 （共 6 分） 97 年 1. 袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球。今有两人依次随机地从袋 中各取一球，取后不放回，则第 2 个人取得黄球的概率是 。（3 分） 2.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X-2Y 的方差是 （ ） （A）8 （B）16 （C）28 （D）44 [3 分] 3. 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是 相互独立的，并且概率都是 2 。设 X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 X 的分布律、分 5 布函数和数学期望。（7 分） 4. 设总体 X 的概率密度为 (  1)x f (x)    0, 0 x1 其他 其中   1是未知参数.X1, X 2 , , X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分 别用矩估计法和极大似然估计法求 θ 的估计量。 （5 分） 98 年 1．（3 分）设 A、B 是两个随机事件，且 00, P(B | A)=P(B | （A）P（A | B）= P( A |B) （B）P（A | B）≠P( A |B) （C）P（AB）= P(A)P（B） （D）P（AB）≠P(A) 2.（6 分） A )，则必有 P（B） 设两个随机变量 X、Y 相互独立，且都服从均值为 0、方差为 1 的正态分 2 布，求|X-Y|的方差。 2 3.（4 分） 从正态总体 N (3.4,6 ) 中抽取容量为 n 的样本，如果要求其样本均值位于 区间（1.4, 5.4）内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应取多大？ [附表]：  (Z)  Z 1  2   t2 e 2 dt Z 1.28 1.645 1.96 2.33 F (Z) 0.900 0.950 0.975 0.990 4.设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均 成绩为 66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生 的平均成绩为 70 分？并给出检验过程。（4 分） 附表：t 分布表 p tp (n) 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 n 99 年 1.（3 分） =P（C）< 2.（3 分） 则 设两两相互独立的三事件 A，B 和 C 满足条件；ABC=Ф，P（A）=P（B） 1 9 ，且已知 P ( A  B  C )  ，则 P（A）= 2 16 。 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N（0，1）和 N（1，1）， 1 2 1 （C） P{X  Y  0}  2 1 2 1 （D） P{X  Y  1}  2 （B） P{X  Y  1}  （A） P{X  Y  0}  3.（8 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分 布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 Y y1 y2 X 1 8 x1 x2 4.（6 分） 1 8 设总体 X 的概率密度为 y3 P{X =xi }= pi 6x  (  x) 0  x   f（x）  3  0, 其他  X1, X 2 , , X n 是取自总体 X 的简单随机样本。 （1） 求 θ 的矩估计量 qˆ； （2） 求 qˆ的方差 D(qˆ) 。 00 年 1.（3 分） 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 ，A 发生 B 不发生的 9 概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P（A）= 。 2.（3 分） 设二维随机变量（X，Y）服从二维正态分布，则随机变量   X  Y与  X  Y 不相关的充分必要条件为 （A） E ( X )  E (Y ) 2 2 2 2 2 2 2 （B） E ( X )  [E ( X )]  E (Y )  [E (Y )] 2 2 （C） E ( X )  E (Y ) 2 （D） E ( X )  [E ( X )]  E (Y )  [E (Y )] [ ] 3.（8 分） 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p(00 为未知参数。又设 x1, x2 , , xn是X 的一组样本观测值，求参数 θ 的最大似然估计 值。 01 年 1.（3 分） 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数， 则 X 和 Y 的相关系数等于 （A）-1 （B）0 （C） 1 2 （D）1 [ ] 2.（3 分） 设随机变量 X 的方差为 2 ，则根据切比雪夫不等式有估计 P{|X  E ( X ) | 2} 。 2 3.（7 分） 设 总 体 X ~ N ( , )(  0) ， 从 该 总 体 中 抽 取 简 单 随 机 样 本 X1, X 2 , , X 2n (n  2) ， 其 样 本 的 均 值 1 2n X   Xi , 求 统 计 量 2n i 1 n Y   ( X i  X ni  2X )2 的数学期望 E（Y）。 i 1 4.（7 分）设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 l (l >0) 的泊松分布，每位乘客 在中途下车的概率为 p(0 < p <1) ，且中途下车与否相互独立。以 Y 表示在中途下车的 人数，求： （1）在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率； （2）二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布。 02 年 1.（3 分） 设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N ( , 2 )(  0) ， 且 二 次 方 程 1 2 y2  4y  X  0 无实根的概率为 ，则   2.（3 分） 。 设 X1和X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度 分别为 f1(x)和f2 (x) ，分布函数分别为 F1(x)和F2 (x) ，则 （A） f1(x)  f2 (x) 必为某一随机变量的概率密度； （B） f1(x) • f2 (x) 必为某一随机变量的概率密度； （C） F1(x)  F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数； （D） F1(x) • F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数。 3.（7 分） [ 设随机变量 X 的概率密度为 x 1  cos , 0  x   f (x)  2 2  其他  0 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于  3 2 的次数，求 Y 的数学期望。 ] 4.（7 分） 设总体 X 的概率分别为 X 0 1 2 3 2 2 p  2 (1  )  1 2 其中 θ（0<θ< 1 ）是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 2 3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3 求 θ 的矩估计值和最大似然估计值。 03 年 （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 6x, 0  x  y  1, 其他  0, f (x, y)   则 P{X  Y  1}  1 . 4 （6）已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布 N ( ,1) ，从中随机地抽取 16 个 零件，得到长度的平均值为 40 (cm)，则  的置信度为 0.95 的置信区间是 (39.51,40.49) . (注：标准正态分布函数值  (1.96)  0.975 ,  (1.645)  0.95.) （6）设随机变量 X ~t(n)(n  1),Y  (A) Y ~ 2 (n) . (C) Y ~F (n,1) . 1 X2 ，则 2 (B) Y ~ (n  1) . (D) Y ~F (1, n) . [ C ] 十一 、（本题满分 10 分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装 有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、（本题满分 8 分） 设总体 X 的概率密度为 2e2( x ) , x   , f (x)   x  ,  0, 其 中   0是 未 知 参 数 . 从 总 体 X 中 抽 取 简 单 随 机 样 本 X1, X 2 , , X n ， 记 ˆ  min(X1, X 2 , , X n ). (1) 求总体 X 的分布函数 F(x); (2) 求统计量 ˆ的分布函数 Fˆ (x) ； (3) 如果用 ˆ作为  的估计量，讨论它是否具有无偏性. 04 年 设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的  (0    1) ，数 u 满 1.（4 分） 足 P{X  u }   ，若 P{ X  x}   ，则 x 等于 u . (A) (B) u  . 1 2 Y (C) u1 . 2 (D) u1 . [ ] 2 2.（4 分） 设随机变量 X 服从参数为  的指数分布，则 P{X  DX }= 3.（4 分） 设随机变量 X1, X 2 , , X n (n  1) 独立同分布，且其方差为  . 2  0. 令 1 n  X i ，则 n i 1 2 (A) Cov( X1,Y )  . n (C) D( X1  Y )  n 2 2  . n (B) Cov( X1,Y )   2 . (D) D( X1  Y )  设 A,B 为随机事件，且 P ( A)  4.（9 分） 1, A发生, 0, A不发生; X  n1 2  . n 1 1 1 , P (B A)  , P ( A B)  ，令 4 3 2 1, B发生, 0, B不发生. Y  求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X 和 Y 的相关系数  XY . 5.（9 分） 设总体 X 的分布函数为 1  1  , x  1, F (x,  )   x x  1,   0, 其中未知参数   1, X1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求： （I）  的矩估计量； （II）  的最大似然估计量. [ ] 05 年 （6）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 1,2, , X 中任取一个数，记为 Y, 则 13 . 48 P{Y  2}= （13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件 {X  0}与 {X  Y  1}相互独立，则 (A) a=0.2, b=0.3 (C) a=0.3, b=0.2 (B) (D) a=0.4, b=0.1 a=0.1, b=0.4 [ B ] （14）设 X1, X 2 , , X n (n  2) 为来自总体 N(0,1)的简单随机样本， X 为样本均值， S2 为样本方差，则 (A) (C) nX ~ N (0,1) (n  1) X S ~t(n  1) nS2 ~ 2 (n). (B) (D) (n  1) X12 n Xi  i ~F (1, n  1). [ D ] 2 2 （22）（本题满分 9 分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 1, 0  x  1,0  y  2x, 其他. 0, f (x, y)   求：（I） (X,Y)的边缘概率密度 f X (x), fY ( y) ； （II） Z  2X  Y 的概率密度 f Z (z). （23）（本题满分 9 分） 设 X1, X 2 , , X n (n  2) 为 来 自 总 体 N(0,1) 的 简 单 随 机 样 本 ， X 为 样 本 均 值 ， 记 Yi  X i  X ,i  1,2, , n. 求：（I） Yi 的方差 DYi ,i  1,2, , n； （II） Y1 与 Yn 的协方差 Cov(Y1,Yn ). 06 年 1.（4 分） 设 A, B 为随机事件，且 P (B) >0, P ( A | B) =1，则必有 （A） P ( A È B) >P ( A). （B） P ( A È B) >P (B). （C） P ( A È B) =P ( A). （D） P ( A È B) =P (B). 2.（4 分） 2 2 设随机变量 X 服从正态分布 N (m1, s 1 ) ， Y 服从正态分布 N (m2, s 2 ) ，且 P{| X - m1 |<1}>P{|Y - m2 |<1}, （A） s 1 s 2. （C） m1 m2. 3. （ 4 分 ） 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 ， 且 均 服 从 区 间 [0, 3] 上 的 均 匀 分 布 ， 则 P {max{X , Y}£ 1}= . ì1 ï 2 , - 10 设总体 X 的概率密度为 f (x) =í ，其中参数 l（l >0）未知， X1, X 2,L , X n 0 , 其它 î 是来自总体 X 的简单随机样本 （1） 求参数 l 的矩估计量； （2） 求参数 l 的最大似然估计量。 10 年 0 x <0 1 0 £ x £ 1, 则 P{X =1}= (7)设随机变量 X 的分布函数 F (x) = 2 1- e- x x >2 (A)0 (C) (B)1 1 -1 -e 2 (D) 1- e- 1 (8)设 f1(x) 为标准正态分布的概率密度 , f2 (x) 为 [- 1,3] 上均匀分布的概率密度, f (x) = af1(x) x £ 0 (a >0,b >0) bf2 (x) x >0 为概率密度,则 a,b应满足 (A) 2a +3b =4 (B) 3a +2b =4 (C) a +b =1 (D) a +b =2 (14)设随机变量 X 概率分布为 P{X =k}= C (k =0,1,2,L ), 则 EX 2 = k! . (22)(本题满分 11 分) 设 二 维 2 随 机 变 ( X +Y ) 的 量 概 率 密 度 为 2 f (x, y) =Ae- 2x +2xy- y , - ¥ 0 ，未知。 x和d 2 分别表示样本均值和样本方差。 2 2 （1）求参数 s 的最大似然估计 sˆ ； 2 2 （2）计算 Esˆ 和Dsˆ 。 12 年 (1) 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 ， 且 分 别 服 从 参 数 为 1 与 参 数 为 4 的 指 数 分 布 ， 则 P ( X 0.设. Z =X - Y (1)求 Z 的概率密度 f z s  2 2 （2）设 Z1 Z2L ,Zn 为来自总体 Z 的简单随机样本，求 s 的最大似然估计量 sˆ 2 2 （3）证明 sˆ 为 s 的无偏估计量 .