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从教务处网页上下载本封面 ： http://jwc.shnu.edu.cn/list_download.aspx htthttp://jwc.shnu.edu.cn/list_do wnload.aspxp://jwc.shnu.edu.cn/l ist_download.aspx 本 科 毕 业 论 文（设 计） 小三号、黑体字 题目（中文）指数分布冷贮备单元的串联系统产品的统计分析 （英文） Statistical Analysis of Cold Reserve Series System for Exponential Distribution 四号、Times New Roman 字体 四号、宋体；下划 线均两端对齐 学 院 数理学院 年级专业 2005 级数学与应用数学 学生姓名 XXXXXX 学 050143504 号 指导教师 XXXXXX 完 成 日 期 2009 年 4 月 四号、宋体；1.5 倍行距；页边距 摘要 （以下各页如同）：上下各 2.54cm， 四号、黑体；下空一行 为“摘要”内容 左右各 3.17cm，装订线左侧 1cm 考虑寿命服从指数分布的冷贮备单元串联而成的系统，先介绍了 其工作原理并做出一些基本假设。利用概率论中指数分布无记忆性， 推出整个系统寿命的分布函数。给出了参数的矩估计、极大似然估计。 给出了适用于不同样本容量的含参数的逆矩估计和修正逆矩估计的 方程，并证明了方程的解的唯一性。通过大量Monte-Carlo模拟考察 估计的精度，得到矩估计和极大似然估计优于逆矩估计。同时，利用 枢轴量法和中心极限定理，还给出了参数的精确区间估计和近似区间 估计，通过大量Monte-Carlo模拟考察了区间估计的精度，得到参数 的精确区间估计优于近似区间估计。最后，随机产生一组数据应用以 上方法举例说明。 四号、黑体 空一行 关键词：冷贮备串联系统；矩估计；极大似然估计；逆矩估计；区间 估计 四号、宋体 V 四 号 ， Times New Abstract Roman 字体，1.5 倍行距 居中，四号，Times New Roman 字 体；其他格式参照中文摘要要求 Basing on the series system in which the life of each cold reserve unit conforms to the exponential distribution, the paper firstly introduces the working principle of this system and proposes some basic assumptions. Using the memoryless property of exponential distribution functions, the paper gives the whole system life’s distribution function. the moment estimate, maximum likelihood estimate are given. the Equations including the inverse moment estimate and revised inverse moment estimate of the parameter which fit different sample size are given. Then the uniqueness of solution is also proved. In order to compare the precision of the estimate, a large amount of Monte-Carlo simulations are performed and it can be concluded that the moment estimate and maximum likelihood estimate are better than the inverse moment estimate. In addition, using the pivot method and central limit theorems，the paper gives the precise interval estimate and approximate interval estimate of the parameter. The precisions of both interval estimates are compared by Monte-Carlo simulations. It can be concluded that the precise interval estimate is better than the approximate interval estimate. At last, a group of data is produced as an example to apply this method. Keywords: cold reserve series system ； moment estimate ； maximum likelihood estimate；inverse moment estimate；interval estimate 四号、Times New Roman 字体； 其他格式参照中文摘要要求 VI 目 录 三号、黑体、居 中，下空二行 小四号，宋体，1.5 倍行距 上海师范大学本科毕业论文（设计）诚信声明 ………………………………… I 上海师范大学本科毕业论文（设计）选题登记表…………………………………II 上海师范大学本科毕业论文（设计）指导记录表…………………………………Ⅳ 中文摘要及关键词 ………………………………………………………………Ⅴ 英文摘要及关键词 ……………………………………………………………… Ⅵ 1 指数分布冷贮备单元的串联系统简介……………………………………………1 2 指数分布冷贮备单元的串联系统的统计分析……………………………………3 2.1 参数的矩估计…………………………………………………………………3 原则上按三级目录（三个层次）编写，三个 2.2 参数的极大似然估计…………………………………………………………3 层次分别缩进 2 个英文字符 2.3 参数的逆矩估计………………………………………………………………4 2.3.1 第一逆矩估计……………………………………………………………4 2.3.2 第一逆矩估计 ………………………………………………………… 8 2.4 参数的区间估计…………………………………………………………… 10 参考文献…………………………………………………………………………… 13 附录 …………………………………………………………………………………14 VII 一级标题，居中，小三号、 黑体，下空一行 小四号、宋体， 1 指数分布冷贮备单元的串联系统简介 1.5 倍行距。 页边距（以下 各页如同）： 上 下 各 2.54cm，左右 系统产品由 k  l 个同型单元组成，其中系统需有 l 个单元串联工作，其它单 元作冷贮备。当 l 个工作单元中有一个失效时，若还有贮备单元，则贮备单元之 参考文献 各 3.17cm ， 一立即去替换，系统继续工作；当 l 个工作单元有一个失效时，若贮备单元已用 用右上标， 装订线左侧 完，则系统产品失效。该系统产品曾做了研究[1]。 用[1]、[2]、 1cm。每一段 开头，空 2 个 汉字 在此假定所有部件的工作寿命均遵从参数为 1/q 的指数分布，且相互独立。 [3] 等 数 码表示， 易知，在一个 l 个工作单元的串联系统中，直到有一个单元失效的时间（即串联 按文中出 æl ö 系统的寿命）的分布函数是 1- expç- x÷，当其中一个单元失效后，贮备单元之 è q ø 顺序列于 现的先后 正文后 一去替换，替换后仍是 l 个单元串联工作。由于指数分布的无记忆性，可认为这 l 个单元都是新的条件下同时开始工作。因此，直到有一个单元失效的时间的分布 æl ö 函数仍为 1- expç- x÷，由于有 k 个贮备单元，可作 k 次替换，因此，系统产品 è q ø 的寿命是 kl 个独立的随机变量之和，每个随机变量的分布函数均为 æl ö 1- expç- x÷，所以这系统产品等价于 k  l 个独立单元的冷贮备系统，其中每 è q ø 个单元的失效率为 l /q 。因而，系统产品的寿命 X 的分布函数为： x 公式应注序号并加圆括号 FX (x) =òfX (x)dx 连续排序 0 k x l  1  l     x d exp x   k!    0  k x （1） k1 1 l  1  l  l   l    x exp x   x . d exp x !   k!    0   k  1    i æ l ö k æl ö 1 =1- expç- x÷å ç x÷ è q ø i =1 èq ø i ! 特别，当 k =1时， æ l ö æ l ö FX (x) =1- ç1+ x÷expç- x÷ è q ø è q ø 正文页码用阿拉伯数字，居中 1 q l 令h = ，即 æ xö æ xö FX (x) =1- ç1+ ÷expç- ÷， è hø è hø 此即完全类似于“指数分布冷贮备产品的统计分析—转换开关完全可靠的 情形[2]”。 当 k =2时， 2 é l 1 æl ö ù æ l ö FX (x) =1- ê1+ x + ç x÷úexpç- x÷ 2 èq ø ú ê ë q û è q ø q l 令h = ， 2 æ xö x æ x ö 1 æx ö æ xö FX (x) =1- expç- ÷- expç- ÷- ç ÷ expç- ÷ è hø h è h ø 2 èh ø è hø æ xö 1 æ xö x æ xö x æ x ö 1 x2 æ xö fX (x) = expç- ÷- expç- ÷+ 2 expç- ÷- 2 expç- ÷+ 3 expç- ÷ h è hø h è hø h è hø h è h ø 2h è hø 1 æ xö 1 x2 = 3 expç- ÷ 2h è hø q l 一般地，令h = ， æ x ö k xi ÷å i è h øi =0 h i ! FX (x) =1- expç- æ x ö k xi æ xö k 1 xi - 1 fX (x) = expç- ÷å i - expç- ÷å i h è h øi =0 h i ! è h ø i =1 h (i - 1)! k æ x öé k xi xi - 1 ù =expç- ÷êå i +1 - å i ú，令 j =i - 1 h h i ! h i 1 ! ( ) i = 0 i = 1 è øë û （2） k- 1 é k xi æ xö xj ù æ x ö xk =êå i +1 - å j +1 úexpç- ÷= k+1 expç- ÷ è hø ëi =0 h i ! j =0 h j !û è h ø h k! k+1 ¥ (h y) h æ xö xk EX =ò x k+1 expç- ÷dx =ò k+1 exp(- y)dy 0 0 h k! è h ø h k! ¥ = h ¥ k+1 h k +1 y exp(- y)dy = G(k +2) =(k +1)h = q ò k! 0 k! l 2 （3） k+2 ¥ (h y) h æ xö xk EX =ò x k+1 expç- ÷dx =ò k+1 exp(- y)dy 0 0 h k! è h ø h k! ¥ 2 2 h 2 ¥ k+2 h2 (k +2)(k +1) 2 y exp y dy = G(k +3) =(k +2)(k +1)h 2 = q （4） ( ) ò k! 0 k! l2 = é(k +2)(k +1) (k +1)2 ù 2 k +1 k +1 DX =ê úq = 2 [k +2- k - 1]q 2 = 2 q 2 2 2 l l l l ê ú ë û （5） 一级标题，居中，小三号、 黑体，下空一行，下同 2 指数分布冷贮备单元的串联系统产品的统计分析 2.1 参数的矩估计 二级标题，靠左，四号、宋体 设 X1, X2,L , Xn 为来自总体分布函数为 FX (x) 的一个容量为 n 的一个简单随机 样本。由矩估计思想可建立如下方程： k +1 q =X l 解得： qˆ = l k +1 X， 而： Eqˆ = Dqˆ = l k +1 q =q , k +1 l l2 2 (k +1) DX = 1 2 q k +1 所以， q 的矩估计是无偏估计。 二级标题间的内容，空一行 2.2 参数的极大似然估计 似然函数为： n k k+1 xikl k+1 æ l n ö æ l ö æl ö æn ö L (q ) =Õ k+1 expç- xi ÷=ç ÷ çÕ xi ÷q - (k+1)n expç- å xi ÷ k! è q ø è k! ø è i =1 ø è q i =1 ø i =1 q n 3 n k æl k+1 ö l n æn ö ln L (q ) =lnç + ln x k + 1 n ln q ( ) åx ÷ çÕ i ÷ q i =1 i è i =1 ø è k! ø d ln L  k  1n l n   2  xi d   i 1 令 d ln L   0，则可解得： d ˆ  l k 1 X， 即参数 q 的矩估计和极大似然估计是相同的。 2.3 参数的逆矩估计 三级标题，空两个汉字，小四号，宋体，以下同 2.3.1 第一逆矩估计——求参数的逆矩估计［3］ 参考文献 用右上标， 用[1]、[2]、 由于： [3] 等 数 码 j æ l ö k æl ö 1 expç- X ÷å ç X ÷ ~U (0,1) è q ø j =0 èq ø j ! j k é l æl ö 1 ù - ê- X +ln å ç X ÷ ú~exp(1) ， ø j !û j =0 èq ê q ú ë 表示，按文 中出现的 先后顺序 列于正文 后，以下同 j k él æl ö 1 ù 2ê X - ln å ç X ÷ ú~c 2 (2) ø j !û j =0 èq êq ú ë 于是有： j k él æl ö 1ù 2å ê Xi - ln å ç Xi ÷ ú~c 2 (2n) ø j !ú i =1 ê j =0 èq ëq û n 可建立如下方程[4]： j k él æl ö 1ù 2å ê Xi - ln å ç Xi ÷ ú=2n ø j !û i =1 ë j =0 èq êq ú n …… …… …… …… …… …… …… …… …… 为考察点估计的精度，取参数 q 的真值为 1，而 l =2， k =2,3,4样本容量取 为 n =5(1)10(10)40 ，进行 1000 次 Monte-Carlo 模拟，估计的均值和均方差列于 表 1。 从表 1 可以看到，参数 q 的矩估计优于逆矩估计，逆矩估计优于修正的逆 4 论文中的表格可统一编序，表号连续，表 号和表标题置于表格上方中间位置 矩估计。 表1  矩估计  矩估计 均 值 均方差 均 值 均方差 估计均值 估计均方差 5 1.0109 0.0667 0.9943 0.0671 1.1318 0.1036 6 1.0068 0.0575 0.9956 0.0570 1.1046 0.0818 7 1.0067 0.0484 0.9966 0.0491 1.0891 0.0668 8 1.0104 0.0415 1.0016 0.0416 1.0819 0.0554 9 1.0095 0.0380 1.0012 0.0381 1.0718 0.0489 10 1.0104 0.0333 1.0034 0.0330 1.0666 0.0417 20 1.0056 0.0160 1.0024 0.0162 1.0328 0.0183 30 1.0053 0.0111 1.0032 0.0113 1.0232 0.0123 40 1.0059 0.0086 1.0030 0.0092 1.0181 0.0098 5 1.0086 0.0505 0.9921 0.0532 1.1101 0.0753 6 1.0065 0.0430 0.9942 0.0433 1.0889 0.0600 7 1.0056 0.0362 0.9954 0.0373 1.0753 0.0493 8 1.0088 0.0311 1.0000 0.0316 1.0694 0.0410 9 1.0081 0.0285 0.9998 0.0289 1.0608 0.0363 10 1.0089 0.0251 1.0018 0.0250 1.0565 0.0311 20 1.0048 0.0120 1.0015 0.0123 1.0280 0.0138 30 1.0045 0.0084 1.0024 0.0086 1.0194 0.0095 40 1.0050 0.0065 1.0030 0.0066 1.0152 0.0074 5 1.0076 0.0404 0.9929 0.0464 1.0967 0.0592 6 1.0056 0.0344 0.9936 0.0350 1.0781 0.0475 7 1.0048 0.0289 0.9948 0.0301 1.0662 0.0391 8 1.0078 0.0248 0.9991 0.0255 1.0612 0.0326 9 1.0071 0.0228 0.9990 0.0233 1.0536 0.0289 10 1.0078 0.0201 1.0009 0.0202 1.0499 0.0248 20 1.0042 0.0096 1.0011 0.0100 1.0248 0.0111 30 1.0040 0.0067 1.0019 0.0069 1.0176 0.0075 40 1.0044 0.0052 1.0031 0.0055 1.0113 0.0064 k n 2 表格中的 内容用 5 号 字，单倍行 距 3 4 点估计的均值和均方差（1）  逆矩估计  逆矩估计  修正逆矩  修正逆矩 …… …… …… …… …… …… …… …… 5 四号、黑体，居中 参考文献 下空一行 [１] 曹晋华、程侃.可靠性数学引论（第二版）[M],2006:38—57. [２] 王蓉华、卜敏佳、徐晓岭.指数分布冷贮备系统产品的统计分析——转换开关完全可 靠的情形[R]，上海师范大学科研报告. [3] 王炳兴. Weibull分布的统计推断[J],应用概率统计，1992，8（4）:357－364. [4] 王蓉华、顾蓓青、徐晓岭、孙祝岭.逆矩估计方法探讨[J],数理统计管理待发表. [5] 茆诗松、程依明、濮晓龙.概率论与数理统计教程[M]：高等教育出版社，2004： 157-158 . [6] 陈传璋、金福临.数学分析[M]：高等教育出版社,1983:120-125 [7] ……………… 参考文献内容用五号、仿宋体，1.5 倍行 距；英文字体为 Times New Roman 字体 13 附录 MATLAB 程序代码 四号、黑体，居中 1.计算指数分布参数  矩估计、极大似然估计、逆矩估计的均值以及均方误差的程序 a=1； l=2; k=3; 5 号宋体，单倍行距 n=10; 英文字体为 Times New Roman，5 号 syms z i t1 t2; for s=1:1000 y2=0; y3=0; for r=1:n y1=rand(1,1); x(r)=gexian1(1-exp(-l*z/a)*symsum((l*z/a)^i/gamma(i+1),i,0,k)-y1); y2=y2+exp(-l*x(r)/t1)*symsum((l*x(r)/t1)^i/gamma(i+1),i,0,k); y3=y3+l*x(r)/t2-log(symsum((l*x(r)/t2)^i/gamma(i+1),i,0,k)); end p(s)=l/(k+1)*mean(x); q1(s)=gexian2(y2-n/2); q2(s)=gexian3(y3-n+1); end avgp=mean(p) sn2p=(sum((p-a).^2))/1000 avgq1=mean(q1) sn2q1=(sum((q1-a).^2))/1000 avgq2=mean(q2) sn2q2=(sum((q2-a).^2))/1000 …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 14