复旦大学第七章 Fourier变换.doc

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU Chapter 7 Fourier Transforms Abstracts：复习 Fourier 级数，讲解 Fourier Transforms 的定义、性质和物理意义 (例题)；介绍多重 Fourier Transforms. 应 用：求解常微分方程；坐标—动量和时间—能量空间具有丰富的物理； 为求解偏微分方程的定解问题做准备。 一、 Fourier Series 1. Fourier 级数的定义 (动机:自然界中存在周期函数,其频谱分析可揭示物理规律。) 定义：设函数 f (t) 的周期为 T ，则下述级数称为 f (t) 的 Fourier 级数，   n1  2n f (t) ~a0   an cos T t  bn sin 2n  t， T  1 12T ì f (t)dt ï a0 =T ò - 12T ï 2 12T 2np ï tdt (n =1,2,3,L ) 其中， í an = ò1 f (t)cos - 2T T T ï 2 12T 2np ï b = f ( t )sin tdt (n =1,2,3,L ). n ï - 12T Tò T î 引入圆频率  0  2 T （如果 t 是时间空间的变量），上式可改写为  f (t) ~a0   an cosn 0t  bn sinn 0t n1 1 12T ì f (t)dt ï a0 =T ò - 12T ï 2 12T ï 其中， í an = ò1 f (t)cosnw0tdt T - 2T ï 2 12T ï b = f (t)sin nw0tdt ï n Tò - 12T î (n =1,2,3,L ) (n =1,2,3,L ). Fourier 级数的收敛性[狄里希莱条件(Dirichlet conditions)]：对于周期为 T 的函数 f (t) ，若它满足：（1）连续，或在每个周期中只有有限个第一 类间断点*；（2）在每个周期中只有有限个极值(即每一个部分的小区间 内单调)，则其 Fourier 级数收敛，并且 1 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU ì f (t) 2np 2np ö ï æ a0 +å çan cos t +bn sin t =í f (t +0) + f (t - 0) T T ÷ ø ï n=1 è î 2 ¥ (在连续点t) (在间断点t). *第一类间断点: 在此点 t  t0 函数 f (t) 不连续，但左极限 lim f (t) 和右 t t0 0 极限 lim f (t) 均存在且有限，所以可积。 t t0 0 Fourier 级数的物理意义： 任何周期信号必可分解为直流成分与基波和各高次谐波的交流成分之 和，它们的振幅分别为 an2  bn2 （See Chapter 10.3 分离变量法&本征值问题）. 因此，傅里叶级数又成为傅里叶频谱分析(Spectrum analysis). 2. Fourier 级数的复数形式(简洁)： 利用 sinn 0t  ein t  ein t ein t  ein t 和 cosn 0t  得 2i 2 0 0 0 ¥ 0 ¥ f (t) = å cne- inw t [ f (z(t)) =å n=- ¥ cnzn, z =e- iw t ] 0 0 n=- ¥ [discrete frequencies: wn =nw0,(n =0, ±1, ±2,L ,quantum numbers) ], 1 1T 2 f (t)e T òT 其中， cn = inw0t - 12 c0  a0 ， cn  dt , (n  0,1,2, ) . an  ibn 2 a  ibn ， cn  n 2 . 各次谐波的振幅为 2cn . 3. 有限区间非周期函数的 Fourier 展开（实际体系都有限非周 期）： 对有限区间的非周期函数，总可以通过延拓来构造周期函数，然后 作傅里叶展开（即拷贝不走样）。设函数 f (x) 在坐标空间的区间 x[- l ,l ] 上满足 Dirichlet 条件，则 f (x) 的 Fourier 级数为， n n   f (x)  a0   an cos x  bn sin x， l l  n1    l  x  l  2 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 1 l ì a = f (x)dx 0 ï -l 2l ò ï 1 l np ï f (x)cos xdx (n =1,2,3,L ) í an = ò l -l l ï 1 l np ï b = f ( x )sin xdx (n =1,2,3,L ), n ï -l lò l î 其中， 其复数形式为： ¥ i f (x) = å cne np x l np -i x 1 l cn = ò f (x)e l dx (n  0,1,2, ) . 2l - l  l  x  l ， n=- ¥ 注意：这时的 Fourier 级数只在区间 x l , l 内有意义，例如： d(x) = 1 +¥ i npl x å e (- l £ x £ l ). 2l n=- ¥ 这种延拓在相互作用体系中要改变物理性质(PCs are different with DCs.)。 4. 正交完备函数集： 在区间 xa, b上不恒为零的函数系 1(x), 2 (x), 3(x), ，若 b òa j m(x)j n(x)dx =0 m n；又若对于 xa, b上的任意平方可积函数 (square integrable function) f (x) ，完整性方程* 均成立，则称  n (x)为区 间 xa, b上的正交完备归一集 (A set of orthogonal complete normalized function bases). *如果对于 xa, b上的平方可积函数 f (x) ，总有 f (x)   ck k (x) ，并且 k b b b csck òj s (x)j k (x)dx +å | ck | ò|j k (x) | dx =å ck Nk òa f (x) dx =å a a s k k k 2 2 2 2 2 ¹ b 成为完整性方程（称巴塞瓦等式）, Nk2 =ò|j k (x) |2 dx 为  k (x) 的积分模方。 a 注: (1)正交性与区间 xa, b有关。完备性：这些基矢一个不能多、一个不能少。 b (2) 在 复 数 函 数 集 中 ， 积 分 应 理 解 为 òj m(x)j n (x)dx =dmn, where a set of a orthogonal complete normalized function bases are j k (x) Þ j k (x) / Nk . (3) 同 一 定 义 域 的 f (x) 可 以 以 j k (x) 表 示 ： f (x)   ck k (x) ， 其 值 为 ck k (representation theory). (4) 对 于 1D 无 界 空 间 区 域 (see below) ， 连 续 波 矢 k 的 本 征 函 数 为 平 面 波 3 Methods of Mathematical Physics (2016.10) j k (x) = Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 1 ikx e , its orthogonal complete normalized relation is 2p h ¥ 1 1 ei (k- k') xdx = d(k - k ') =d( p - p'). ò- ¥ j k (x)j k'(x)dx =2p h -ò h ¥ ¥ (5) How to find j n (x) in a generalized approach? See Chapter 10.6, S-L eigenvalue problem (Sturm-Liouville 型方程的本征值问题). 2 2 4 4 2n 2n   例如 1： 1, sin t, cos t, sin t, cos t, , sin t, cos t,  T T T T T T   在区间 t[- 12 T , 12 T ]上是正交完备函数集。 1T 2 正交性： ò1 g(t)h(t)dt =0, g(t) 和 h(t) 是上面集合中的任意两个不同函数。 - 2T é 2 ¥ 2 2 ù 平方可积性： ò1 f (t) dt = T ê2a0 +å (ak +bk )ú. - 2T k=1 ë û 1T 2 2 1 2 ì 2T dt =T , g(t) =1; ïò - 12T 模方（归一性）： Nk2 =í 1 T ï ò21 | g(t) |2 dt =12 T， g(t)是除1之外的其它函数。 î - 2T 1  i nl x  例如 2： e  (n  0,1,2, ) 在区间 x[- l ,l ]上是正交完备集。   { } 例如 3： e- inw0t (n  0,1,2, ) 在区间 t[- p / w0,p / w0 ]上是正交完备集。 5. 多重傅里叶级数： 二元函数 f (t1, t2 ) 在 - 12 T1 £ t1 £ 12 T1, - 12 T2 £ t2 £ 12 T2 内的傅里叶级数为 ¥ ¥ f (t1,t2 ) = å å cmne- i(mw t +nw t )， ¢1 0 ¢ ¢2 0 m=- ¥ n=- ¥ 1 1T 2 1 1T 2 2 i (mw0¢t1+nw0¢¢t2 ) f (t ,t )e TT ò T ò T 其中， cmn = 1 2 w0¢= 2p T1 1 - 12 1 - 12 2 ¢= , w0¢ 2p T2 2 dt1dt2 (m, n =0, ±1, ±2,L )， . 二、 Fourier 积分与 Fourier 变换 4 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU We consider an interaction-free particle within the quantum mechanics. For the particle is confined in the finite space range of x[a,b] , there is the discrete variables {n}, and the wave function is j n (x). In that case, we need to adopt the Fourier series. But in the infinite space range of x[- ¥ , +¥ ], there is the continue variables k[- ¥ , +¥ ], and the wave function is the plane wave j k (x) : e±ikx (see below). We need to learn the Fourier transforms. 对 t (- ¥ , ¥ )上的非周期函数 f (t) ，不能展成 Fourier 级数，但是我们 可以把它看成是周期为 T 的函数当 T   时的极限。周期为 T 的函数的 ¥ Fourier 级数为： f (t) = å cne- iwnt , n=- ¥ 1 1T 2 2n 2 f (t)e dt ，而  n  n  ，    n   n  . T T T òT 其中， cn = iwnt 0 - 12 1 因此，可以把 cn 改写为 1 T Dw T cn = ò f (t)eiwntdt = f (x )eiwnx dx ，代入 f (t) 的表达式，得 ò T T T 2p 1 2 1 2 1 2 1 2 1T éDw 12T ù - iwnt 1 ¥ 2 iwnx f (t) = å ê ò1 f (x )e dx úe = D w f (x )e- iwn(t- x )dx . å 1 ò - 2T - 2T 2p n=- ¥ û n=- ¥ ë2p ¥ 当 T   时，   2 T  0， wn = 2p T n ® w (continued spectrum)， ån (L )Dw ® ò(L )dw. 因此， 1 ¥ ¥ f (x )e- iw(t- x )dxdw ò ò ¥ ¥ 2p 1 ¥é 1 ¥ ù = f (x )eiwx dx úe- iwtdw. ê ò ò 2p - ¥ ë 2p - ¥ û f (t) = ~ 1  1  i 令 f ( )  f (  ) e d   f (t)ei tdt ,   2  2  则 f (t)  1  ~ f ( )ei td .  2  1. Fourier 积分定理： 5 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 若函数 f (t) 在区间 t (- ¥ , ¥ )上满足:（1） f (t) 在任一有限区间上满  足 Dirichlet 条件；（2） f (t) 在 t (- ¥ , ¥ )上绝对可积[即  f (t) dt 收敛、  有限或者 lim f (t) =0]，则 f (t) 可表示成 Fourier 积分，且 Fourier 积分值 t®±¥ 等于 f (t  0)  f (t  0)/ 2 . 即 1 ¥ % - iwt ì f ( t ) = f (w)e dw; ïï -¥ 2p ò í 1 ¥ ï f% (w) = f (t)eiwtdt. ò ¥ ïî 2p ~ 上面一对等式上方的积分称为 Fourier 积分，其中 f ( ) 由下方等式 ~ ~ ~ 决定。 f ( ) 称为 f (t) 的 Fourier 变换，记为： f (t)  f ( ) ， f (t) 和 f ( ) 分别称为原函数和象函数。当 t 是时间变量时，  则是频率。 +¥ f (t) « +¥ +¥ +¥ 1 1 1 [ f%(w ')e- iw'tdw ']eiwtdt = òf%(w ')[ òei (w- w')tdt]dw ' ò ò 2p - ¥ 2p - ¥ 2p - ¥ -¥ +¥ = òf% (w ')d(w - w ')dw ' = f% (w). -¥ 当在坐标变量 x 和动量(波数 k )之间变换时，则习惯采用下面的变换： 1 ¥ % ikx ì f ( x ) = ò f (k)e dk; ïï 2p - ¥ í 1 ¥ ï f% (k) = f (x)e- ikxdx. ò ïî 2p - ¥ ~ f (x)  f (k) . Remarks 1 ： lim f (t) =0由 Jordan 引 理 决 定 。 当 z   t®±¥ (0  argz   ,即Imz  0) 时, f (z)  0 (此限制条件为一致地趋于 0), 则 lim f (z)eimzdz  0 (实常数m 0) ，其中 CR 是以原点为圆心，半径为 R R  CR 的上半圆周, 即 z =R eiq (0 £ q

T î 的频谱，其中 h 是常数。 [解] f (x)是偶函数，谱函数为 f%(w) = 1 +¥ 1 +T iwt¢ h/ iw iwt¢ T 2 sinwT f (t¢)eiwt¢dt¢= he dt¢= e |- T = h . ò ò p w 2p - ¥ 2p - T 2p f (t) 的 Fourier 积分是 f (t) = 1 ¥ % - iwt h ¥ sinwT - iwt f ( w ) e d w = e dw .（频 -¥ -¥ pò w 2p ò 谱分解与叠加）。 ìp ï2 ï ¥ sinTx p ïp costxdx = f (t) =í 可以用来计算积分： ò 0 x 2h ï4 ï0 ï î ( t T ). 例2. 求  (x) 的像函数。 [解]  (x)  1  1 .  (x)ei xdx   2  2  (x) 的 Fourier 积分是  (x)  +¥ 1  ikx 1  ikx e d k  e dk .   2  2  +¥ 2 例 2’． ò f (x) dx = ò f% (k) dk . -¥ 2 -¥ 10 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 证明： +¥ ò[ -¥ +¥ +¥ 1 1 - ikx % f ( k ) e d k ][ f%* (k ')eik'xdk ']dx ò ò 2p - ¥ 2p - ¥ +¥ +¥ +¥ 1 = f%(k) f%* (k ') òe- i (k- k') xdxdkdk ' òò 2p - ¥ - ¥ -¥ +¥ +¥ ¥ * = òòf% (k) f% (k ')d(k - k ')dkdk ' =ò | f% (k) |2dk. -¥ -¥ -¥ 例 3．求 f (x)    14  2x2  e 2   0的像函数。 [解]  2x2 ~ 1  1    2 ikx ikx f (k)  f ( x ) e d x  e e dx    1 4 2  2  k2  2x2  2   2  1 2 2  14 e cos kx d x  e  14 0  2   ¥ 2 - ax2 其中用到了积分： ò e 0 1 p - 4ba cosbxdx = e . f (x) 的 Fourier 积分是 2 a 1  ~ ikx 1 f (x)  f ( k ) e d k   2  14  k2 1   2 2 ikx e e dk .  2  1 2 为动量空间相应波函数，测不准关系成立(见例 6)。 例4． 量子力学里，对于以能量 E 从金属表面发射出来并处于恒定加速电 场 E 中的电子[设电子质量和电荷各为 m和 - e,E 的方向和 x 轴的取 向如图所示(p.131 图 7.3)]，其运动服从如下的 Schrodinger 方程： f (x) 是一维空间谐振子势场 V (x) = mw02x2 中的基态波函数， f%(k) ì h2 d2y (x) - en xy (x) =Ey (x) (x ³ 0) ， ï2 í 2m dx ï y (+¥ ) =0, y ¢(+¥ ) =（物理要求） 0 . î 求电子波函数 (x) .（虽是定解问题，但给 不出 eigenvalues，需要y (0) ！） [解] 引入 2meE 1 2mE  x     ， ， ， 2 l3 2 l2 l 并计此时的 (x) 为 u() ，则方程变为： 11 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU ¢(x ) +xu(x ) =0 (x ³ l ), ìï u¢ í ïî u(+¥ ) =0, u¢(+¥ ) =0. 此外， ( )  0,  ( )  0，即 u( )  0, u( )  0. 我们用 Fourier 变换（与课本上的不同） ~ u(k)     u()    1  u()eik d   2 1  ~ ik u(k)e dk  2  ¢(x ) « (ik) u% (k) =- k2u% (k), 解上述方程:由求导定理， u¢ 2  i u()  u~(k) 即 xu(x) « iu%¢(k). ~(k) 的方程，  k2u ~(k)  iu ~(k)  0，即 因此，得到关于 u ~(k)  ceik 3 ( c是积分常数)。因此， ~(k)  ik2u ~(k) ，解之得， u u 3 u(x ) = = 1 ¥ - ik3 3 ikx c¢ ¥ - i(k3 /3- kx ) ¢ c e e d k = e dk -¥ -¥ 2p ò 2p ò c ¥ - i(k /3- kx ) e dk =cAi(- x ). -¥ 2p ò 3 其中 c  c 2 是任意常数，而函数 Ai(x ) = 1 ¥ - i(k3 /3+kx ) 1 ¥ i(k3 /3+kx ) e d k = e dk 称为爱里(Air)函数， -¥ -¥ 2p ò 2p ò 而它所满足的方程 u()  u()  0 称 为 爱 里 方 程 。 Ai(- x ) =Ai(x ). 例5． 求 f (x)  1 的 Fourier 变换像函数。 1 x2 [解]： 虽然这个函数满足 Fourier 变换的条件，但是要区分 k <0, k >0两种 情况，并且下半平面的积分回路的实轴部分与所求积分的方向正好相反。 12 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 1 ¥ 1 ¥ e- ikx - ikx % f (k) = ò f (x)e dx = 2p ò- ¥ 1+x2 dx 2p - ¥ ì ï ï =í ï ï î é e- ikz ù 1 p (- 2pi )Resê 2 ú = e- k (k >0) 2 2p ë1+z ûz=- i - ikz ée ù 1 p (2pi )Resê 2 ú = ek 2 2p ë1+z ûz=i 3 = (k <0) p - |k| e . 2 2 2 ar  a2 4  2   f ( r )  e 例6． 求 3D 谐振子基态波函数     a  0的 Fourier 变换像 函数（在动量空间的表示），其中 r  x2  y2  z2 . 34 3 ~   1  a2  [解] f (k)       2      a2r 2   ikr e 2 e dr , 注意到被积函数（分离变量） - a2r 2 rr 2 2 2 2 2 2 e 2 e- ik×r =(e- a x /2e- ik x )(e- a y /2e- ik y )(e- a z /2e- ik z ), 1 2 2 2 3 k2 2 2 a x ¥ 1 ¥ a - a 2x - ikx 2 a 1 2a 2 2 % 又 f (k) = e e d x = e cos kx d x = e . 1 4 ò ò 1 4 1 4 2p - ¥ p p 2p 0 p a 因此， r2 34 34 k k k k a2r 2 rr r æ 1 ö3 æa2 ö3 4 æ 1 ö - 2a1 2 - 2a22 - 2a32 æ 1 ö - 2a 2 - ik× r r 2 % f (k) =ç =ç 2 ÷ e . ÷ ç ÷ òòòe e dr =ça 2p ÷ e e e è ø èa p ø è 2p ø è p ø 2 +¥ ¥ 2 2 ¥ 分步 a 2 2 2 2 2 1 r 2 r a2 Here： ò f (r ) dr =( )3 2 4p òe- a r r 2dr =( )3 2 4p 2 òe- a r dr =1. 积分 p p 2a 0 -¥ 0 +¥ r 2 r ¥ 1 f%(k) dk =( 2 )3 2 4p òe- k /a k2dk =1. ò a p -¥ 0 2 2 归一化之径向波函数。 r 2 r 在 r 空间 a ­ , f (r ) 变窄； r 2 r 而在 k 空间： a ­ , f (k) 变宽， 1 DrDk » h a » h，满足测不准关系。 a  例7． 求 f (r )  1  5 32a r ze 的 Fourier 变换像函数，此波函数是氢原子 2p 2a 态波函数之一, 其中 r  x2  y2  z2 . 13 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU [解] 3       ~  1  1 1  2a ikr 2a ikr f (k)   ze e d r  i e e d r     2  32a5 16 2 a5 k3 - r r r r ¥ p 2p r 2a - ikr cosq 2 dr =ò òò e e r sinqdrdqdj rr r 2a - ik× òòòe e 0 0 0 4p d ¥ - 2ra = ò re sin krdr =e coskrdr 0 k 0 k dk ò 4p d æ 2a ö 64p a3 == , ÷ 2 2 2 k dk ç è4a k +1ø (4a2k2 +1) 4p - ¥ r 2a a ¥ 其中利用了（see below 例 12） ò e- a x cosb xdx = a +b 2 0 ~  f k  1 16 2 a5 i 2 . 因此 64i a5 k3  64a3 .   3 2 2 k3 4a2k2  1 2  4a k  1   ¥   例8． 解积分方程 ò y(x ) y(x - x )dx =e- x . 2 -¥ 解：将方程先变为卷积形式，有 1 ¥ 1 - x2 y x y x x d x = e ( ) ( ) -¥ 2p ò 2p 作 Fourier 变换，有 k2 1 x2 ikx 1  x2  4 e e dx  e coskxdx  e .  2  2 2 1  ~ y(k)~ y(k)   2  k2 14   因此， ~ y(k)   e 8 ，则 2 k2 k2 2 1   1 4  8 ikx 14   8 y(x)   e e d k   e coskxdk   2 1 4e2x .   2  2  2 例9. 1 证明 FT： e- mr « r 2 1 ， (m>0)[See习题7.2or 习题7.6(2)]. p k2 +m2 vr v 1 ¥ sin kr k 1 2/ p eik×r 1 - mr 证明： « d k = d k = e . 2 - ¥ k2 +m p k2 +m2 (2p )3/2 òk2 +m2 pò r r 2 物理意义：Coulomb screening potential: Coulomb potential divergence at r =0. 引 进 m再令 m® 0: 1 r « 2 1 p k2 . 汤川秀树(Yukawa Hideki,1907～1981), 1935 年结合相 14 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 对论和量子理论，以质子和中子间新粒子的交换描述原子核的相互作用，推测粒子的 质量大约是电子质量的 200 倍(介于电子和核之间)。该粒子在宇宙射线中被发现，它 就是汤川秀树的 π 介子，后来才发现它是 μ 介子. 1949 年获得诺贝尔物理学奖,是第 一个获得诺奖的日本人，他没有到过欧美留学，而是在日本国土生土长起来的理论物理学家。 例10. 梁教材 P.122 例 3. 试将锯齿波 f (x)展开为 Fourier 级数。已知在一个周 期 xÎ [- l ,l ] 内， f (x) =x. ¥ 解：锯齿波是奇函数， f (x) =å bk sin k=1 2 l bk = ò0 x sin l kp x , 其中 l l kpx 2 l kpx kpx kpx dx = ( )2 ò ( )sin d( ) l l kp x =0 l l l l 2l é kpx kpx kpx ù k+1 2l = 2 2 êsin cos =(- 1) . ú kp ë l l l ûx =0 kp Þ f (x) = 2l ¥ (- 1)k+1 å p k =1 k sin kp x . l ì 2p ï 0, t <- N w0 ï ï 2p 2p N w0 î 解： f (t) 是奇函数， f%(w) = 积化 =- 合差 1 +¥ 2 N 2p /w0 iwt¢ ¢ ¢ f t e d t = Asinw0t sinwtdt ( ) -¥ 0 pò 2p ò æw ö w0 A N 2p /w 2 cos w + w t cos w w t d t = A sin N 2 p é ù ( ) ( ) ç ÷. 0 0 ë û 0 p w2 - w02 èw0 2p ò ø 0 15 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 例12. 试 求 广 义 Poisson Eq. Fourier transforms YLMa@Phys.FDU (Ñ - m )j (rv) =- 4p gr (rv)满 足 自 然 边 界 条 件 2 2 j (¥ ) =0 的解（ m, g 为常数）。 vv v v vv 解：先求 Green Function G (r ; r¢) ： (Ñ2 - m2 )G (r ; r ) =- d (r - r¢). 求导算符的逆运算为积分，或者将结果求导。设积分常数为 G0， 3 v v æ1 ö ikv×Rv v v v v Q d (r - r¢) =ç ÷ òe dk, (R º r - r¢) è2p ø 3 vv v e vv v v æ1 ö \ G (r ; r ') =G0 - (Ñ2 - m ) d (r - r¢) =G0 +ç ÷ ò 2 d k 2 è2p ø k +m 2 -1 vv k× R=kRcosq = 4p ik× R 2 sin kR k æ1 ö 1 ¥ k sin kR G0 + d k = G + dk 0 ç ÷ ò 3 2 2 è2p ø R - ¥ k +m (2p ) ò0 k2 +m2 R ¥ 2 2 ¥ k æ1 ö 1 æ1 ö 1 æ i m - mR ö =G0 +ç ÷ Imò 2 eikRdk =G0 +ç ÷ Imç2pi e ÷ 2 - ¥ k +m è2p ø R è2p ø R è i 2m ø 1 - mR =G0 + e . 4p R v 注意 dk =2p k2dk sinqdq =- 2p (k/R)dkd(kRconq). 最后由 r ® ¥ ,G ® 0得 G0 =0. 故 v v - mr - r ¢ 1 e vv G (r ; r¢) = r v , 4p | r - r¢| v v - mr - r ¢ r e r 并且无界区域场的叠加为 j (r ) =gòr (r ') r v dr '. | r - r¢| v e- mr 对于点源 r (r ) =d(r ), j (r ) =g 正是 Green function--Coulomb screening r r r v potential (see Chapter 14). Home Work: 7.3, 7.6(2), 7.7. 16