复旦大学第七章 Fourier变换.doc
Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU Chapter 7 Fourier Transforms Abstracts:复习 Fourier 级数,讲解 Fourier Transforms 的定义、性质和物理意义 (例题);介绍多重 Fourier Transforms. 应 用:求解常微分方程;坐标—动量和时间—能量空间具有丰富的物理; 为求解偏微分方程的定解问题做准备。 一、 Fourier Series 1. Fourier 级数的定义 (动机:自然界中存在周期函数,其频谱分析可揭示物理规律。) 定义:设函数 f (t) 的周期为 T ,则下述级数称为 f (t) 的 Fourier 级数, n1 2n f (t) ~a0 an cos T t bn sin 2n t, T 1 12T ì f (t)dt ï a0 =T ò - 12T ï 2 12T 2np ï tdt (n =1,2,3,L ) 其中, í an = ò1 f (t)cos - 2T T T ï 2 12T 2np ï b = f ( t )sin tdt (n =1,2,3,L ). n ï - 12T Tò T î 引入圆频率 0 2 T (如果 t 是时间空间的变量),上式可改写为 f (t) ~a0 an cosn 0t bn sinn 0t n1 1 12T ì f (t)dt ï a0 =T ò - 12T ï 2 12T ï 其中, í an = ò1 f (t)cosnw0tdt T - 2T ï 2 12T ï b = f (t)sin nw0tdt ï n Tò - 12T î (n =1,2,3,L ) (n =1,2,3,L ). Fourier 级数的收敛性[狄里希莱条件(Dirichlet conditions)]:对于周期为 T 的函数 f (t) ,若它满足:(1)连续,或在每个周期中只有有限个第一 类间断点*;(2)在每个周期中只有有限个极值(即每一个部分的小区间 内单调),则其 Fourier 级数收敛,并且 1 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU ì f (t) 2np 2np ö ï æ a0 +å çan cos t +bn sin t =í f (t +0) + f (t - 0) T T ÷ ø ï n=1 è î 2 ¥ (在连续点t) (在间断点t). *第一类间断点: 在此点 t t0 函数 f (t) 不连续,但左极限 lim f (t) 和右 t t0 0 极限 lim f (t) 均存在且有限,所以可积。 t t0 0 Fourier 级数的物理意义: 任何周期信号必可分解为直流成分与基波和各高次谐波的交流成分之 和,它们的振幅分别为 an2 bn2 (See Chapter 10.3 分离变量法&本征值问题). 因此,傅里叶级数又成为傅里叶频谱分析(Spectrum analysis). 2. Fourier 级数的复数形式(简洁): 利用 sinn 0t ein t ein t ein t ein t 和 cosn 0t 得 2i 2 0 0 0 ¥ 0 ¥ f (t) = å cne- inw t [ f (z(t)) =å n=- ¥ cnzn, z =e- iw t ] 0 0 n=- ¥ [discrete frequencies: wn =nw0,(n =0, ±1, ±2,L ,quantum numbers) ], 1 1T 2 f (t)e T òT 其中, cn = inw0t - 12 c0 a0 , cn dt , (n 0,1,2, ) . an ibn 2 a ibn , cn n 2 . 各次谐波的振幅为 2cn . 3. 有限区间非周期函数的 Fourier 展开(实际体系都有限非周 期): 对有限区间的非周期函数,总可以通过延拓来构造周期函数,然后 作傅里叶展开(即拷贝不走样)。设函数 f (x) 在坐标空间的区间 x[- l ,l ] 上满足 Dirichlet 条件,则 f (x) 的 Fourier 级数为, n n f (x) a0 an cos x bn sin x, l l n1 l x l 2 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 1 l ì a = f (x)dx 0 ï -l 2l ò ï 1 l np ï f (x)cos xdx (n =1,2,3,L ) í an = ò l -l l ï 1 l np ï b = f ( x )sin xdx (n =1,2,3,L ), n ï -l lò l î 其中, 其复数形式为: ¥ i f (x) = å cne np x l np -i x 1 l cn = ò f (x)e l dx (n 0,1,2, ) . 2l - l l x l , n=- ¥ 注意:这时的 Fourier 级数只在区间 x l , l 内有意义,例如: d(x) = 1 +¥ i npl x å e (- l £ x £ l ). 2l n=- ¥ 这种延拓在相互作用体系中要改变物理性质(PCs are different with DCs.)。 4. 正交完备函数集: 在区间 xa, b上不恒为零的函数系 1(x), 2 (x), 3(x), ,若 b òa j m(x)j n(x)dx =0 m n;又若对于 xa, b上的任意平方可积函数 (square integrable function) f (x) ,完整性方程* 均成立,则称 n (x)为区 间 xa, b上的正交完备归一集 (A set of orthogonal complete normalized function bases). *如果对于 xa, b上的平方可积函数 f (x) ,总有 f (x) ck k (x) ,并且 k b b b csck òj s (x)j k (x)dx +å | ck | ò|j k (x) | dx =å ck Nk òa f (x) dx =å a a s k k k 2 2 2 2 2 ¹ b 成为完整性方程(称巴塞瓦等式), Nk2 =ò|j k (x) |2 dx 为 k (x) 的积分模方。 a 注: (1)正交性与区间 xa, b有关。完备性:这些基矢一个不能多、一个不能少。 b (2) 在 复 数 函 数 集 中 , 积 分 应 理 解 为 òj m(x)j n (x)dx =dmn, where a set of a orthogonal complete normalized function bases are j k (x) Þ j k (x) / Nk . (3) 同 一 定 义 域 的 f (x) 可 以 以 j k (x) 表 示 : f (x) ck k (x) , 其 值 为 ck k (representation theory). (4) 对 于 1D 无 界 空 间 区 域 (see below) , 连 续 波 矢 k 的 本 征 函 数 为 平 面 波 3 Methods of Mathematical Physics (2016.10) j k (x) = Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 1 ikx e , its orthogonal complete normalized relation is 2p h ¥ 1 1 ei (k- k') xdx = d(k - k ') =d( p - p'). ò- ¥ j k (x)j k'(x)dx =2p h -ò h ¥ ¥ (5) How to find j n (x) in a generalized approach? See Chapter 10.6, S-L eigenvalue problem (Sturm-Liouville 型方程的本征值问题). 2 2 4 4 2n 2n 例如 1: 1, sin t, cos t, sin t, cos t, , sin t, cos t, T T T T T T 在区间 t[- 12 T , 12 T ]上是正交完备函数集。 1T 2 正交性: ò1 g(t)h(t)dt =0, g(t) 和 h(t) 是上面集合中的任意两个不同函数。 - 2T é 2 ¥ 2 2 ù 平方可积性: ò1 f (t) dt = T ê2a0 +å (ak +bk )ú. - 2T k=1 ë û 1T 2 2 1 2 ì 2T dt =T , g(t) =1; ïò - 12T 模方(归一性): Nk2 =í 1 T ï ò21 | g(t) |2 dt =12 T, g(t)是除1之外的其它函数。 î - 2T 1 i nl x 例如 2: e (n 0,1,2, ) 在区间 x[- l ,l ]上是正交完备集。 { } 例如 3: e- inw0t (n 0,1,2, ) 在区间 t[- p / w0,p / w0 ]上是正交完备集。 5. 多重傅里叶级数: 二元函数 f (t1, t2 ) 在 - 12 T1 £ t1 £ 12 T1, - 12 T2 £ t2 £ 12 T2 内的傅里叶级数为 ¥ ¥ f (t1,t2 ) = å å cmne- i(mw t +nw t ), ¢1 0 ¢ ¢2 0 m=- ¥ n=- ¥ 1 1T 2 1 1T 2 2 i (mw0¢t1+nw0¢¢t2 ) f (t ,t )e TT ò T ò T 其中, cmn = 1 2 w0¢= 2p T1 1 - 12 1 - 12 2 ¢= , w0¢ 2p T2 2 dt1dt2 (m, n =0, ±1, ±2,L ), . 二、 Fourier 积分与 Fourier 变换 4 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU We consider an interaction-free particle within the quantum mechanics. For the particle is confined in the finite space range of x[a,b] , there is the discrete variables {n}, and the wave function is j n (x). In that case, we need to adopt the Fourier series. But in the infinite space range of x[- ¥ , +¥ ], there is the continue variables k[- ¥ , +¥ ], and the wave function is the plane wave j k (x) : e±ikx (see below). We need to learn the Fourier transforms. 对 t (- ¥ , ¥ )上的非周期函数 f (t) ,不能展成 Fourier 级数,但是我们 可以把它看成是周期为 T 的函数当 T 时的极限。周期为 T 的函数的 ¥ Fourier 级数为: f (t) = å cne- iwnt , n=- ¥ 1 1T 2 2n 2 f (t)e dt ,而 n n , n n . T T T òT 其中, cn = iwnt 0 - 12 1 因此,可以把 cn 改写为 1 T Dw T cn = ò f (t)eiwntdt = f (x )eiwnx dx ,代入 f (t) 的表达式,得 ò T T T 2p 1 2 1 2 1 2 1 2 1T éDw 12T ù - iwnt 1 ¥ 2 iwnx f (t) = å ê ò1 f (x )e dx úe = D w f (x )e- iwn(t- x )dx . å 1 ò - 2T - 2T 2p n=- ¥ û n=- ¥ ë2p ¥ 当 T 时, 2 T 0, wn = 2p T n ® w (continued spectrum), ån (L )Dw ® ò(L )dw. 因此, 1 ¥ ¥ f (x )e- iw(t- x )dxdw ò ò ¥ ¥ 2p 1 ¥é 1 ¥ ù = f (x )eiwx dx úe- iwtdw. ê ò ò 2p - ¥ ë 2p - ¥ û f (t) = ~ 1 1 i 令 f ( ) f ( ) e d f (t)ei tdt , 2 2 则 f (t) 1 ~ f ( )ei td . 2 1. Fourier 积分定理: 5 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 若函数 f (t) 在区间 t (- ¥ , ¥ )上满足:(1) f (t) 在任一有限区间上满 足 Dirichlet 条件;(2) f (t) 在 t (- ¥ , ¥ )上绝对可积[即 f (t) dt 收敛、 有限或者 lim f (t) =0],则 f (t) 可表示成 Fourier 积分,且 Fourier 积分值 t®±¥ 等于 f (t 0) f (t 0)/ 2 . 即 1 ¥ % - iwt ì f ( t ) = f (w)e dw; ïï -¥ 2p ò í 1 ¥ ï f% (w) = f (t)eiwtdt. ò ¥ ïî 2p ~ 上面一对等式上方的积分称为 Fourier 积分,其中 f ( ) 由下方等式 ~ ~ ~ 决定。 f ( ) 称为 f (t) 的 Fourier 变换,记为: f (t) f ( ) , f (t) 和 f ( ) 分别称为原函数和象函数。当 t 是时间变量时, 则是频率。 +¥ f (t) « +¥ +¥ +¥ 1 1 1 [ f%(w ')e- iw'tdw ']eiwtdt = òf%(w ')[ òei (w- w')tdt]dw ' ò ò 2p - ¥ 2p - ¥ 2p - ¥ -¥ +¥ = òf% (w ')d(w - w ')dw ' = f% (w). -¥ 当在坐标变量 x 和动量(波数 k )之间变换时,则习惯采用下面的变换: 1 ¥ % ikx ì f ( x ) = ò f (k)e dk; ïï 2p - ¥ í 1 ¥ ï f% (k) = f (x)e- ikxdx. ò ïî 2p - ¥ ~ f (x) f (k) . Remarks 1 : lim f (t) =0由 Jordan 引 理 决 定 。 当 z t®±¥ (0 argz ,即Imz 0) 时, f (z) 0 (此限制条件为一致地趋于 0), 则 lim f (z)eimzdz 0 (实常数m 0) ,其中 CR 是以原点为圆心,半径为 R R CR 的上半圆周, 即 z =R eiq (0 £ q
T î 的频谱,其中 h 是常数。 [解] f (x)是偶函数,谱函数为 f%(w) = 1 +¥ 1 +T iwt¢ h/ iw iwt¢ T 2 sinwT f (t¢)eiwt¢dt¢= he dt¢= e |- T = h . ò ò p w 2p - ¥ 2p - T 2p f (t) 的 Fourier 积分是 f (t) = 1 ¥ % - iwt h ¥ sinwT - iwt f ( w ) e d w = e dw .(频 -¥ -¥ pò w 2p ò 谱分解与叠加)。 ìp ï2 ï ¥ sinTx p ïp costxdx = f (t) =í 可以用来计算积分: ò 0 x 2h ï4 ï0 ï î ( t