复旦大学第六章 Laplace变换.doc

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU Chapter 6 Laplace Transform History of Integral Transforms 计算在任何时候都是数学之核心。人们发明了很多符号来简化运算，例如 d å , ò , 和 dx 等。莱布尼兹可算是符号演算的鼻祖。十八、九世纪，求解微积 分方程是数学、物理学家面临的重要任务。 1862 年，俄数学家瓦申科--扎哈尔钦科创造了一种符号算法解线性微分方程。 1890 年左右，英电气工程师亥维赛采用符号法计算了大量的微分方程，他将 dn d 微分看做“乘法”： j (x) = pj (x) ， n j (x) = pnj (x) ，将积分看做“除 dx dx x 1 x x 法”： òj (x )dx = j (x) ， òL òj (x )(dx )n = p 0 0 0 1 n p j (x) ，以及 1 n p ×= 1 1 n x. n! 例如，求解 y'- y =1, y(0) =0. py - y =1Þ y = 1 1 1 1 ¥ 1 = ×= 1 (å × 1) p - 1 p 1- 1 p n=0 pn p x = ¥ ¥ 1 ¥ 1 n 1 n 1 1 n+1 ¥ 1 x = x d x = x = xn+1 =ex - 1. å å å å ò p n=0 n! n! n=0 n! n +1 n=0 (n +1)! 0 n=0 他用此法解了大量的微积分方程，包括一些当时人们认为几乎不可能解决的问题， 这使职业数学家大为吃惊，责难他的方法毫无根据。他对此不睬，并推广此法去 解一些偏微分方程。不过他也的确由于没有根据地滥用此法，出过一些错误。 二十世纪，布朗威奇、长松、杰弗里斯、德挈等人对符号法进行了深入的研 究，找到了他的数学根据。原来符号法与一百年前 Laplace 引进的积分变换是一 脉相通的，符号法是 Laplace 变换的特殊情形。从此肯定了符号法是解微分方程 的一种方法，并称之为运算微积或算符演算。 1782 年 ， Laplace 研 究 概 率 论 时 得 到 一 种 特 殊 形 式 的 积 分 ， +¥ òe j (x)dx =j ( p): j (x) ® j ( p). 这种变换以及逆变换很多人研究过。 - px 0 a+¥ i 1 1823 年，泊松得到 j (x) = epxj ( p)dp, 这是 Riemann-Mellin 变换。 ò 2pi a- i¥ 1 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 积分变换简介(Introduction to integral transforms) 1．积分变换是一种函数之间的用积分表示的变换关系。 2．积分变换法是求解某些微分方程的方法。对于常微分方程通过积分变换 可以转化为代数方程或降低方程的阶数；对于偏微分方程，可以消去一个自 变量的微分。 3．积分变换法解微分方程的特点类似对数运算，不直接求未知函数，而是 求变换后未知函数的象，然后通过反演即求得未知函数。 b 4．积分变换的定义： j ( p) =ò K ( p, x)j (x)dx （a,b 可为有限或无穷） ，其中 a ¥ K ( p, x) 称为积分变换的核。例如拉普拉斯变换 j ( p) =ò e- pxj (x)dx 的核为 0 ¥ e px ；傅里叶变换 j ( p) =ò e- ipxj (x)dx 的核为 eipx ；其它还有汉克尔变换 -¥ ¥ ¥ 0 0 j ( p) =ò xJ n ( px)j (x)dx，梅林变换 j ( p) =ò xp- 1j (x)dx 等等。 5. 积分变换的应用：求解常微分方程的初值问题，求解积分方程；求定积 分。 LT 应用：⑴求解常微分方程的初值问题。⑵求解积分方程。⑶求定积分。 LT 特点：以定理形式讲授（但不证明），再例题分析。 一、Laplace 变换的定义和基本性质 1. 定义：若对于 (0,  ) 上的函数  (t) ，下述积分收敛于  ( p) ，即 ¥ j ( p) =ò e- ptj (t)dt ，则称  ( p) 为  (t) 的 Laplace 变换，记为 0  ( p)   (t) 。 1 引入阶梯函数(Heaviside step function) H (t)   0 t0 ，那么 t0 ¥ j ( p) =ò e- ptj (t)H (t)dt. -¥ 2. Laplace 变换存在的条件： (i) 在区间 [0,  ) 中，  (t) 和  '(t) 除具有第一类间断点外都是连续的，而 且在任何有限区间中这种间断点至多只有有限个； 2 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 第一类间断点是指在此点 t  t0 不连续，但左极限 lim  (t) 和右极限 t t0 0 lim  (t) 均存在且有限，所以可积。 t t0 0 (ii)  (t) 随 t 增 长 的 速 度 不 超 过 某 一 指 数 函 数 ， 即  (t)  Mes0t M  0, s0  0, t  0. 定理：当 Re p  s  s0 时，(1)  ( p) 存在并一致收敛，即 lim  ( p)  0 .或 Re p  者说，当   2    argp   2   时，  ( p)  0 p   . (2)  ( p) 为 p 的解析函数。 证明：设 p  s  i ，则 ¥ ¥ ¥ 0 0 0 j ( p) = ò j (t)e- ptdt £ ò j (t) ×e- pt dt £ M ò e- (s- s )tdt = 0 M s - s0 因此，当 Re p  s  s0 时，  ( p) 存在并一致收敛，即 lim  ( p)  0 . Re p  ¶ é j (t)e- pt ù ë ûdt 0 ¶p ¥ 对于任何实常数 s1  s0 ，考虑 Re p  s1 时的积分 ò ¥ ¶ ¥ ¶ - st - pt - pt é ù é ù j ( t ) e d t £ j ( t ) e d t £ ò0 ¶p ë ò0 ¶p ë ò0 j (t) te 1 dt û û ¥ ¥ M 2 (s1 - s0 ) £ M ò te ( 1 0 ) dt = - s-s t 0 因此， ¥ ¶ éj (t)e- pt ùdt 是一致收敛的，根据含参变量广义积分的性质， ò ¶p ë 0 û 于是可以交换求导和积分的次序，即   d d   p   (t)e ptdt    (t)e pt dt 0 p dp dp 0   由此可见，  ( p) 的导数在 Re p  s1  s0 上处处存在且有限， 即  ( p) 是解析的。 3. Laplace 变换的基本性质： （1） 线性定理：如果 1(t)  1( p), 2 (t)   2 ( p) ， c1, c2 是两个复常 数，则， c11(t)  c2 2 (t)  c11( p)  c2 2 ( p) . 3 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function （2） 相 似 定 理 ： 如 果  (t)   ( p) ， a  (at)  YLMa@Phys.FDU 是 一 正 数 ， 则 1  p   . a a  证明：  (at)    p a   1  p      (at)e dt    ()e da  a   a .  pt 0 0 （3） 原函数求导定理：如果  (t)   ( p) ，则  '(t)  p p  (0) . 一般地，对自然数 n，有（带初值）  n(t)  pn ( p)  pn1 (0)  pn2 '(0)     n1(0) . 证明：    '(t)    '(t)e ptdt   e ptd (t) 0 0  pt t   (t)e t0   p  (t)e ptdt  p p  (0) 0 其中， t   时，  (t)e pt  0 ，这是因为  (t)   ( p) ，所以  (t)  Mes t ，而 Re p  s  s0 ，因此 0  (t)e pt  Mess t  0 (t   ) . 0 两个极限： 1． lim p ( p)   (0) ，这是因为 p ( p)   (0) 作为  (t) 的象函 p  数，应满足 limp ( p)   (0) 0，即 lim p ( p)   (0) . p  p  2． lim pj ( p) =limj (t) ， p®0 t®¥ 这是因为  '(t)     '(t)e dt  p p  (0) ，  pt 0 ¥ ¥ lim pj ( p) =liméò j '(t)e- ptdt +j (0)ù=ò j '(t)dt +j (0) ê0 ú 0 p®0 p®0 ë û =limj (t). t®¥ t （4） 原函数积分定理：如果  (t)   ( p) ，则  ()d  0  p (无初 p 值)。 t 证明：记y (t) º òj (t )dt ，显然， (0)  0. 0 于是有  '(t)  p p (0)  p p. 4 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 另一方面， '(t)   (t)   p. 比较两式可得， p ( p)   p，所以  ( p)  这就是说  (t)   p . p t j ( p)  p ，即 òj (t )dt « . 0 p p （5） 延迟定理：如果  (t)   ( p) ，是一 正数，则  (t  )H (t  )  e p p ( t >t ). 证明: j (t - t )H (t - t ) « ¥ ¥ ò j (t - t )H (t - t )e dt =òt j (t - t )e dt. - pt - pt 0 在积分中作变换 u  t   ，即得，   (t  )H (t  )  e p   (u)e pudu  e p ( p) . 0 4. 例题分析(已知原函数求象函数)： （1）从定义，性质出发 例 1 求 H (t) 的象函数。   1 0 0 p  pt  pt [解]  ( p)   H (t)e dt  1e dt  H (t)  1 p , (Rep  0) , (Rep  0) . ¥ 例 1' ： 1« òe- ptdt = 0 1 p (Re p >0). 例 2 求 eat 的象函数，a 是一复常数。   at  pt pat dt  [解]  ( p)  0 e e dt  0 e  eat  ¥  1 , (Rep  Rea) p a 1 , (Rep  Rea) . p a ¥ 1 1 - ( p- a )t 例 2' te « òte e dt =t d e = (Re p >Rea ) . p- a ò ( p - a )2 0 0 at a t - pt 5 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 例 3 求 sint 的象函数。 [解] 由 eat  sint  1 1 ，而 sint  eit  eit ，所以 p a 2i   1 1 1  1   , Re p  0.   2   2i  p  i p  i  p  1 例 4 求 sin t 的象函数。 [解一] 由 sint  1 ， p 1 2 当   0 时， sin t  1 1   p   1   2   2 p  2 , Re p  0. [解二] ¥ j ( p) =ò sinwte- ptdt = 0 1 ¥ - ( p- iw)t - ( p+iw)t ée ù -e ûdt 0 ë 2i ò ¥ 1 é ¥ - ( p- iw)t e dt - ò e- ( p- iw)tdtù ò ú 0 ë0 û 2i ê 1é 1 1 ù w = ê = 2 , (Re p > Imw ) ú 2i ëp - iw p +iw û p +w2 = sin t   2 p  2 , Re p  Im . 例 5 求 cost ， cos t 的象函数。 1 ，所以， p2  1 [解] 由于 sint   cost  sint  p 同样，由 sin t  coswt = 1 w (sinwt)' « 1 p ， Re p  0.  sin( 0 )  p2  1 p2  1  2 p  2 , Re p  Im ，所以， ù 1é w p p 2 - sin(w ×0)ú= 2 , ê 2 2 w ë p +w û p +w Re p  Im . 例 6 求 tn (n  0,1,2, ) 的象函数。 [解] 由 H (t)  1 p Re p  0和积分定理得 6 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 p 1 , Re p  0,  p p2 t t  H (t)dt  0 ¥ 或者 t « ò te- ptdt =0 1 ¥ tde t pò - pt =0 =0+ 1 ¥ 1 e dt = , Re p  0. t pò p - pt 2 =0 1 2 t 2! p2 1 = 3 , 或 t2  3 , Re p  0. p p p t 2! =òt ×dt « 0 2! 3 t t3 1 3! p3 2! =òt ×dt « = 4 , 所以，  4 ，或 t3  4 3! p p 3 0 p p t 2 tn 1 n! 一般地有  n1 , 或 tn  n1 n! p p ¥ 例7 Q ea t « ò ea te- ptdt = 0 \ tnea t « Re p  0. Re p  0. 1 , p- a n! ,(n =0,1,2,L ). ( p - a )n+1 例 7' 求 t (Re  1) 的象函数。 t =pt ¥ [解] j ( p) =ò ta e- ptdt = 0 (  1) 所以 t  p 1 1 ¥ G(a +1) ò t e dt = pa a -t a +1 0 p +1 , Re p  0. , Re p  0. 例 8 求 H (t  ) 的象函数。 [解]由 H (t)  1 Re p  0，所以，根据延迟定理，有 p - pt H (t - t ) =H (t) ×H (t - t ) « e 1 e- pt ， Re p  0. × = p p t 的象函数。 例 9 求 sin (t  )H t  ， sin (t  )H  [解]由 sin t   2 p  2 ， 7 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU  应用延迟定理，有 sin t  H t   2 p  2 e p .（ t ³ t ） sinw(t - t )H (t) =(sinwt coswt - coswt sinwt ) H (t) =sinwtH (t)coswt - coswtH (t)sinwt « w p coswt - 2 sinwt 2 p +w p +w2 = 1 (w coswt - psinwt ) (t ³ 0). p2 +w2 2 注意：*Q t Î [0, ¥ ] 或约定 j (t) =0(t <0) \ 上述所有 j (t) 应理解为 j (t)H (t), - 即 j (t)H (t) « j ( p). **在容易引起混淆的情况下，要特别标明阶梯函数！ 1 ***Q 1« p 1 ，t « 2 p 1- pt 又t- t « p2 \ t - 1« 1 2 p - 1 p (t >0). (t >t ). （2）周期函数的象函数 设  (t) 是周期为 T 的函数，即 j (t +T ) =j (t). 由定义有   (n1)T  ( p)    (t)e ptdt    0 n0 nT  (t)e ptdt ， 作代换   t  nT ，上式成为 ¥ T j ( p) =å òj (t +nT )e n=0 - p(t +nT ) 0 T ¥ T dt =òj (t )e dt × åe - pt 0 - npT n=0 òj (t )e dt . = - pt 0 1- e- pT （3）作幂级数展开 例 10 求  (t)  sin t 的象函数。 2m1 m   1 [解]  (t)  sin t   t 2 ，而 2m 1 ! m0   t 2m1 2  ( 2m 1  1)  2m 1!! 2 ，于是  2m1 1 p 2 m 2m1 p 3 2 8 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function m (- 1) ¥ j ( p) =å m=0 p (2m+1)!! (2m+1)! m+1 2 3 2 m+ p YLMa@Phys.FDU m (- 1) (2m+1)!! = 3å 2m+1)! 2m pm 2 m=0 ( 2p p ¥ m 1 - 1) ( p - 4p = 3å = 3e . m m ! 4 p m = 0 ( ) 2p2 2p2 p ¥ p 所以， sin t « 3 2 - e 1 4p , 2p 1 其中用到了 (  1)   ( ) ，以及 ( )   . 2 二、Laplace 变换的反演问题与 梅林反演公式 (Mellin inversion formule) 1.反演问题 [习惯于正问题，换种思维问反问题(有时候特别管用)；正问题有 必然结果，反问题不一定，存在性？唯一性？]： i. 位移定理：如果  ( p)   (t) ，是复常数，则 j ( p +l ) « j (t)e- l t . t et  证明：   t e e dt     t e  dt   ( p  ) .     t  pt 0   p t 0 ii. 象函数求导定理：如果  ( p)   (t) ，则  ( p)  (t)  t. 一般地，对自然数 n，有一般地，对自然数 n，有  n( p)  (t)n  t . 证明： j ¢( p) = ¥ ¶ d ¥ - pt é j t e d t = j (t)e- pt ù ( ) ò ò ë ûdt 0 0 dp ¶p ¥ =ò (- t)j (t)e- ptdt « (- t)j (t). 0  iii. 象函数积分定理：如果  ( p)   (t) ，而且  (z)dz Re p  s0 收敛， p ¥ 则 ò j (z)dz « p j (t) . t [说明]这里的积分是复变积分，其上限应理解为 Re p   ，并且因 其积分路径在  ( p) 的解析区域，所以与积分路径无关（沿正 实轴积分）。 9 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 证明： ¥ ¥ ¥ p p ë0 ¥ ¥ 0 ëp - zt - zt ò j (z)dz =ò éêò j (t)e dtùúdz =ò j (t) éêò e dzùúdt û û j (t) j (t) - pt e dt « . 0 t t ¥ =ò  (t) dt ， 0 t   [补充说明]上式中如果令 p  0，则有   ( z)dz   0 f (t) dt 形的积分，例如： 0 t  可以用来计算  ¥ sint ò t 0 1 p dp = . 0 p +1 2 ¥ dt =ò 2 iv. 卷积定理：如果 1( p)  1(t), 2 ( p)   2 (t) ，则 t t 0 0 j 1( p)j 2 ( p) « òj 1(t )j 2 (t - t )dt =òj 1(t - t )j 2 (t )dt . 证明： t  () (t  )d  0 1 2  t 0 0   () (t  )de dt  pt 1 2 这个先积、后积 t 的二次积分， 其积分区域如图所示，改变积分次 序， 上式成为 t ¥ ¥ - pt òj 1(t )j 2(t - t )dt « ò j 1(t ) éêò j 2(t - t )e dtùúdt . ët û 作变量代换 u  t   ，且 t =t 时 u =0 （即位移常量 t ） 0 0 ¥ ¥ ¥ ¥ ò j (t ) éêëòt j (t - t )e dtùúûdt =ò j (t )e dt ×ò j (u)e du 0 1 - pt 2 0 - pt 1 0 - pu 2 =j 1 ( p)j 2 ( p). ì 1 +¥ iw(t- t') e dw =d(t - t ') ï ò 2 p ï iwt ⅰ. í +¥ - ¥ 平面波 e 的 FT 为 d 函数，其定义为 ï f (t)d(t - t ')dt = f (t '). ï ò î -¥ ì +¥ ï f (w) = 1 f (t)e- iwtdt, ò -¥ ï 2p ⅱ. í 1 +¥ ï f ( t ) = f (w)eiwtdw. ò ï 2p - ¥ î 10 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU ⅲ. Consider f (t) =j (t)H (t)e- st ，其 FT： - 1 +¥ 1 +¥ - iwt f ( t ) e d t = j (t)e- ste- iwtdt. ò ò -¥ 0 2p 2p - 1 +¥ j (t ')e- st'e- iwt'dt ' ( s >s0 ). ò 0 2p f (w) = f (w) = i.e. ⅳ.反演（反变换） f (t) = +¥ 1 +¥ 1 +¥ iwt - st ' f ( w ) e d w = j ( t ') e [ eiw(t- t')dw]dt ' =j (t)H (t)e- st . ò ò ò -¥ 2p 0 2p - ¥ Þ j (t)H (t)e- st = 1 +¥ f (w)eiwtdw. ò 2p - ¥ ⅴ.故 1 +¥ f (w)e(s+iw)tdw, ò -¥ 2p 1 +¥ 1 f (w) = j (t)e- ptdt = j ( p) ò 2p - ¥ 2p +¥ i 1 s+¥ ( p º s +iw,dw =dp / i, ò dw = ò dp). j (t)H (t) = -¥ i s- i¥ s+¥ i ⅵ. 结论： j (t)H (t) = 1 j ( p)eptdp(s >s0 ) ò 2pi s- i¥ 2. 梅林反演公式和展开定理： i. 梅 林 反 演 公 式 ： 若 函 数  ( p) ， p  s  i 满 足 ： (1)  ( p) 在 区 域 Re p  s0 中解析，(2)在区域 Re p  s0 中，当 p   时，  ( p) 一 致地趋于 0，(3)对于所有的 Re p  s  s0 ，沿直线 L： Re p  s 的 si 无穷积分   ( p) d s  s0 收敛，则对于 Re p  s  s0 ，  ( p) si 是 11 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 si  ( p)eptdp  2i si 的 Laplace 变换，其中 t 为实变量。  (t)  证明：分三步证明上面给出的  (t) 就是  ( p) 的 原函数。 1/ 证明  (t)  1 si  ( p)eptdp 中的积  s  i  2i 图 6.1 分与 s 无关，而作为自变量 t 的函数  (t) 具有有限的增长指数。 在区域 Re p  s0 中，作闭曲线如图 6.1 所示，由于  ( p) 在此区域 是解析的，因此，由 Cauchy 定理，  ( p)eptdp  0 ， C 固定 s1, s2 ，而让    ，则由已知条件(2)， s2 i lim     s1i s1+is  ( p)eptdp  0 ， limò f ( p)eptdp =0. s ®¥ s2 +is s1i s2 i s1i s2 i 因此，   ( p)eptdp    ( p)eptdp， 由于 s1, s2 是任意的，说明 1 si  ( p)eptdp与 s 无关，它只是变量 t  s  i  2i 的函数。再根据已知条件(3)，有 1 si 1 si est si M pt pt  ( p)e dp   ( p) e dp   ( p) d  est    2i si 2 si 2 si 2 故  (t) 具有有限的增长指数，收敛横标就是 s0 。从上面的不等式， 同时也可证积分是一致收敛的。 2/ 证明当 t  0 ， j (t) º 0. 12 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 这时可选取图 6.2 中的闭合路径 C ，其 中 CR 是以原点为圆心， R 为半径的圆 弧。由 Cauchy 定理得， Ñ òj ( p)e dp =0. pt C 当 t  0 时，可以证明，在 R   时， 沿 CR 的积分趋于 0 （作变量代换 p  iz ， 这相当于将 p 平面上的圆弧 CR 变为 z 平 面 上 的 下 半 平 面 内 的 圆 弧 CR， 则 由 图 6.2 Jordan 引理，可证）。那么， si si si si pt pt   ( p)e dp    ( p)e dp  0 (t  0) ，即 j (t) = i 1 s+¥ j ( p)eptdp º 0 (t <0). ò s i ¥ 2pi 3/ 证明这个积分定义  (t) 的 Laplace 变换   pt   (t)e dt  0 1   si  (q)eqtdqe ptdt ( Re p  s0 )     0 s  i  2i 就是 j ( p). 因 上 式 右 端 的 内 层 积 分 与 s无 关 ， 故 可 取 Re p  s  s0 ，并交换积分次序（根据积分的一 致收敛性） ，有  1 si   epqtdtdq  ( q )   si 0 2i  1 si  (q)  dq si p  q 2i   pt   (t)e dt  0 这个积分可用留数定理计算。取积分闭曲线如 图 6.3 所示，由条件（2）可知， 图 6.3  (q)  0， p q limq  q  因此，根据引理 2，沿 CR 的积分为 0. 又因为 q  p 是  (q) 的单极点，并 p q 注意积分方向，可得 13 Methods of Mathematical Physics (2016.10) ¥ - pt ò j (t)e dt = 0 Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU i j (q) 1 s+¥ dq =j ( p). s- i¥ p - q 2pi ò 推广的 Jordan 引理：设 CR 是以 p  0为圆心，以 R 为半径的圆周在 ii. 直 线 Re p  a (a  0) 左 侧 的 圆 弧 ， 若 当 p   时 ，  ( p) 在  2    argp  3   （  是任意小的正数）中一致地趋于 0，则 2 lim  ( p)eptdp  0 (t  0) . R  CR 证明： C  ( p)e dp  AB ( p)e dp    ( p)eptdp    ( p)eptdp BCD DE pt pt R 对右端第二个积分，作变量代换 p  iz ，这 相当于将 p 平面上的左半圆周 BCD 变为 z 图 6.4 平面上的上半圆 CR，则由 Jordan 引理，有 lim  ( p)eptdp  i lim  (iz)eitzdz  0. R  CR R  BCD 现 在 来 计 算 圆 弧 AB 上 的 积 分 值 ， 任 给   0 ， 取 R 足 够 大 ， 使  ( p)   ，则 Rcos i sin t AB ( p)e dp  AB  ( p) e pt  2 d  eatR dp  e R  at 2  当 R   时，   0，但 R ~R sin  a ，因此上式右边可任意 小，从而有 lim  ( p)eptdp 0 ， R  AB 同理， lim  ( p)eptdp 0， R  DE 于是 lim  ( p)eptdp  0 (t  0) . R  CR iii. 展 开 定 理 ： 设 象 函 数  ( p) 是 单 值 的 ， 而 且 在 0  argp  2 内 有  ( p)  0 ( p   ) ，则  (t)   Res  ( p)ept (t  0) 。 全平面 证明：设 a  s0 ，当 t  0时，参考图 6.4 有 14 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU A 1 ai 1 pt  ( p ) e d p  lim  ( p)eptdp ，   2i ai 2i R  E  (t)  由于  ( p) 在 Re p  a 是解析的，所以沿直线 EA 的积分可以 用沿圆弧 EFA 的积分代替，所以， 1 1 limò j ( p)eptdp = liméò +ò ùj ( p)eptdp EFA CR ú ë EFA û 2pi R®¥ 2pi R®¥ ê 1 1 pt = limÑ j ( p ) e d p = ×lim2pi å Resé j ( p)ept ù ò ë û C 2pi R®¥ 2pi R®¥ j (t) = pt = å Resé ëj ( p)e ù û. 全平面 3. 例题分析（已知象函数求原函数）： （1）由定义和基本性质出发。 例 1．求  ( p)  p （是复常数，是正数）的原函数。 p   2   2 解： p j ( p) = p +l l 2 2 ( p +l ) +w2 ( p +l ) +w2 = 2 ( p +l ) +w 2 p +l l w 2 2 ( p +l ) +w2 w ( p +l ) +w2 (Rep   Re) = « coswte- l t - l l æ ö sinwte- l t =çcoswt - sinwt ÷e- l t . w w è ø 例 2．求 t sint ， t cost 的象函数。   1   2p 解：由求导定理，  t sint   ，所以， 2  p2  1  2 p 1    t sint  2p (Rep  0) . p  1 2  2   p  p2  1 2p2 1 p2 由求导定理，  t cost   ，  2 2  p2  1  p2  1 p2  1    所以 例 3．求 sin t t t cost  p2  1 p  1 2 2    , (Rep  0) . (  0) 的象函数。 15 Methods of Mathematical Physics (2016.10) 解：由积分定理， 所以 sin t t Chapter 6 Laplace transform and delta function sin t   t   p z   2 YLMa@Phys.FDU 1   p d   arctan  ， 2     1  dz  p 2 2   p  arctan  , (Rep  0) . 2   1 (  0) 的原函数。 p( p  ) 例 4．求 [解一]：由 1 p  H (t) ， 1  p( p  ) 1  p( p  ) [解二]：  ( p)  1  H (t)et ，根据卷积定理， p  t t 0 0  (t )  (t ) H ()H (t  )e d  e d  t t 0 0   H (t  )H ()e d  e d  1 1 e .  1 t 1 e .  t 1 有单极点 p  0和 p   ，由展开定理， p( p  )  (t)  Res  ( p)eptp0  Res  ( p)eptp  1   1 t  e  1 1 e .  t [解三]： 1 1 1 1 1 1 = ( ) « [H (t) - H (t)e- l t ] = (1- e- l t ) . p( p +l ) l p p +l l l e- ab 例 5．求 j ( p) = 之原函数。 p( p +b ) _ 解：Q 1 p 1 - ab 延迟 1 e « H(t - a )，而 « e- bt . 定理 p p+b « H (t)\ 故 t e- ab 卷积 t - b (t- t ) j ( p) = « H (t - a )e dt =H (t - a )òe- b (t- t )dt p( p +b ) 定理 ò 0 0 _ =H (t - a ) 1 - b (t- t ) b e 1 = [1- e- b (t- a ) ]H (t - a ). b （2）由展开定理（仅适用单值函数）。 例 1．求 j ( p) = 1 的原函数。 ( p +1)( p - 1) 2 16 Methods of Mathematical Physics (2016.10) [解一]： j ( p) = Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 由单极点 p  i ， p  1，由展开定理， ( p +1)( p - 1) 2 pt pt pt j (t) =Resé ëj ( p)e ù ûp=i +Resé ëj ( p)e ù ûp=- i +Resé ëj ( p)e ù ûp=1 = eit e- it et + + 2i (i - 1) (- 2i )(- i - 1) 2 1 1 1 1 = et + [- (i +1)eit - (i - 1)e- it ] 2 i2 2 2 1 = (et - sint - cost). 2 [解二]：由 1 1  sint ，  H (t)et ，由卷积定理， p 1 p 1 2 t t et  sint  cost 0 0 2  ( p)  sinH (t  )et d  sin et d  . [解三]：因式分解法 _ 1 1 p +1 1 - 2 ) « (et - sint - cost). 2 p - 1 P +1 2 j ( p) = ( （3）由梅林反演公式。 例 1．求  ( p)  1 p 的原函数。 1 ai ept 解：  ( p)  dp ， ai 2i  p p  0和 p   是  ( p) 的两个支点( 多 值函数)，沿负实轴作割线，并取上岸 argp   ，下岸 argp   。 选取积分闭曲线如图所示，在所围区域内无奇点，所以，由 Cauchy 定理，有， pt   e dp  0 ，     CR l1 l2 Cr  p  EA 当取 R   , r  0时，因为 lim p  1 p  0，根据推广的 Jordan 引理， ept lim dp  0. CR R   p 17 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU ept ept 又因为 lim p   0 ，根据引理 2， lim dp  0， p 0 r  0 Cr p p 在 l1上 p  ei r    R，在 l2 上有 p  ei r    R，所以， i te  t r e  e ept 1 0 e t lim dp  lim dei    d  i  d ， i  0 R  l R  R i p    e r 0 r 0 1  i te  t R e  e ept 1  e t lim dp  lim dei   d  i  d ， i 0 0 R  l R  r i p    e r 0 r 0 2 因此， pt  t ai e  e ept ept dp   dp   lim    dp  2i  d ， ai l  p 0 R  EA R   l p p  r 0 r 0 lim 1 2 即， pt i e 1 a+¥ 1 ¥ e- r t d p = dr a- i¥ 0 2pi ò pò p r j ( p) « æ1 ö Gç ÷ 1 ¥ è2 ø = 1 . = ò x e dx = 1 2 -x p t 0 p t pt e- a p 延迟 1 例 1' . « p 定理 p（t - a） 例 2．求  ( p)  1 [解一]：  ( p)  p e p   0的原函数(习题 6.5，虽然多值但是避之)。 1 ai e p pt e dp ，与例 1 的做法相似，这里有， ai 2i  p i  e i  re  e e p pt ei i lim e dp  lim e de  i  etd ， i l R 0 R   R   p  e r 0 r 0 1  i  e i  re  e e p pt e i i lim e dp  lim e de  i  etd ， i l R 0 R   R   p  e r 0 r 0  2 因此， -a p - ia r é ¥ eia r - r t ù a+¥ i e ¥ e e- a p pt pt limò e dp =ò e dp =i êò e dr +ò e- r tdr ú a- i¥ 0 0 R®¥ EA p p r r ê ú r ®0 ë û ( ) ¥ cos a r eia r +e- ia r - r t =i ò e dr =2i ò e- r tdr , 0 0 r r ¥ 18 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU   e p 1 ai e p pt 1  cos  e t 即  ( p)   e dp   d . ai 2i   0 p p  作变换    2 ，得    cos  e t 0   2   4t d  2 cos e d  e ， 0 t   2t b2 1   4a 其中用到了积分  eax cosbxdx  e . 0 2 a  2   2  e p 1  cos  e t 1  4t 因此，  d  e . 0  p  t  p [解二]：由 e 1   2 t -a p e - a 2p =e 3 2 1 4t e （见下面例题），根据相似定理， 1/4 1 a - a 2 /4t t /a 2 « 2 e = e . a 2 p (t / a 2 )3/2 2 p t3/2 1     1  p 又因为， e p   ，所以，根据求导定理， e 2 p ¢ « - tj (t) =- t (e ) -a p 2 2 a a a - a4t 4t e =e ，因此， 2 p t3/2 2 pt 2  1  p   4t  e   e ，即 2 p 2 t 1 p  e p 1  t 2 4t  e . p -a p 或者是： e « p +¥ 2 p - a 4t e t 2 - ax ò e cosbxdx = Note： I (a) = -¥ p - b 4a e (a,b >0) . a 2 （4）求解微分方程。 例 1．求  ( p)  e p 的原函数(虽然多值但是避之)。 解一：  ( p)   1 2 p e p , 19 Methods of Mathematical Physics (2016.10) j ¢¢( p) =j ¢( p) = Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 æ- p 1 - pö 1 e + e ÷ = j ( p) +2j ¢( p)], ç ÷ 4p [ 4p ç p è ø ¢( p) +2j ¢( p) - j ( p) =0， 即  ( p) 所满足的微分方程为， 4pj ¢  ( p)   (t)  ( p)  t (t) （ n =1）  ( p)  t2 (t) 为了找到 p ( p) ，利用原函数求导定理，有 2 ¢( p) ，即 j (t)' º (t2j (t))' « pj ¢¢( p) - é ët j (t)ù ût=0 = pj ¢ p ( p)  t2 (t)  2t (t) ，因此得到  (t) 满足的微分方程为 4t2j ¢(t) +(6t - 1)j (t) =0. 解此一阶微分方程得 lnj (t) =ò(  1 3 -1 3 )d t = ( - lnt) |tt0 ，得 2 4t 2t 4t 2 1 3  4t 2  (t)  Ct e ， C 是积分常数。 为定出积分常数 C ，按定义，有  p e   32  41t   pt   Ct e  e dt ， 0       1 3  4t 2 令 p  0，则上式成为， 1  C  t e dt ，作代换 u  0 1 ， 4t 1 2 u 1  1  2C  u e du  2C   2  C ， 0 2   ¥ 2 （或者： u º v, du =2vdv Þ C =2ò2e- v dv =2 p ）所以， -1 0 C 1 2  ，最后得到， e- p « 1 3/2 2 pt 解二：由梅林反演公式，  ( p)  e p  e- 1/4t . 1 ai  p pt e e dp ， ai 2i  p  0和 p   是  ( p) 的两个支点，沿负实轴作割线，并取上岸 argp   ，下岸 argp   。选取积分闭曲线如图所示，在所围区域 内无奇点，所以，由 Cauchy 定理，有 20 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU          e p eptdp  0 ，  EA CR l1 l2 Cr  当取 R   , r  0时，因为 lime p  0，根据推广的 Jordan 引理， p  limò e- peptdp =0. R®¥ CR 又因为 lim p e p ept  0，根据引理 2， lim e p eptdp  0， r  0 Cr p 0 在 l1上 p  ei r    R，在 l2 上有 p  ei r    R，所以， r i i   0   0 lime p eptdp  lime e ete d ei  ei  etd   ei  etd R  l1 r 0 R  R r 0 limòe- peptdp =limò e- r e er te d(r e- ip ) =- ò ei r e- r tdr . 因此， R R®¥ l2 r ®0 - ip ¥ - ip R®¥ r r ®0 0 pt a+¥ i e ept limò dp =ò dp =- liméò +ò ùe- peptdp êl ú a- i¥ l û R®¥ EA R®¥ ë p p r ®0 r ®0 1 ¥ ( 2 ) ¥ =- ò e- i r - ei r e- r tdr =2i ò e- r tsin r dr ， 0 ¥ 0 2 =4i ò e- tx xsinxdx. 0 b2 1   4t 为了求积分  et sind ，令 I (b)   et cosbd  e ，等 0 0 2 t   2 2 式两边对 b 求导，左边有    dI (b) d  t 2 t 2 t 2  e cos b  d   e cos b  d    e 0 b 0  sinbd 0 db db    d é1 p - b4t ù b p - b4t 右边有， ê e ú=e . db ê 2 t 4 t t ú ë û 2 ¥ 1 p - 41t x sinxdx = e . 4t t - tx 2 令 b  1，则 ò e 0 2 ¥ ept 1 p - 41t i p - 41t - tx 因此， limò dp =4i ò e xsinxdx =4i × e = e ， 0 R®¥ EA 4 t t t t p r ®0 2 - 即 j ( p) =e p i 1 a+¥ 1 i p - 41t - p pt « e e dp = × e = a- i¥ 2pi ò 2pi t t 1 2 pt 3 2 p - 41t e . t 三、Laplace 变换的应用——求解线性常微分方程的初值问题（特解） 21 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 例1． 求 LC 串联电路当电容器 C 放电时的 电流（右图） ，设开始时电容器的极板上 带有电荷  q0 ，且电流为零。 t [解]由 Q(t) =Q0 - òI (t )dt ， 0 L 得L dI  Q      0，( Q0 =q0 ) dt  C  q dI (t) 1 t + òI (t )dt = 0 ，这是关于 I (t) 的积分微分方程，其初始条 dt C 0 C 件是 I (0) =0. 设 I (t)  I ( p) ，则有 LpI ( p) + I ( p) q0 = ，解之得 Cp Cp q q 1 1/ LC I ( p) = 0 2 = 0 . 2 LC p +1/ LC LC p2 + 1/ LC ( 所以， I (t)  ) q0 t 。 （振荡解） sin LC LC 例2．质量为 m、倔强系数为 k 的弹簧振子在外力作用下的振动方程是 m x(t)  kx(t)  f (t) ，设位移 x 的初始条件是 x(0)  0, x(0)  0. 在如下几种情况下求解此初值问题： （1） f (t)  F0H (t); （2） f (t)  F0H (t)  H (t  t0 ) ; （3） f (t)  F0 cos t 或 F0 sin t; （4） f (t) 是任意的已知函数。 [解] （1） 设 x(t)  x( p) ，则 x( p) 的方程是 mp2x( p)  kx( p)  F0 ，（千万不要忘记常数项的变换！！） p 22 Methods of Mathematical Physics (2016.10) 所以， x( p)  x(t)  Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU F0 1 k ，其中  0  ， 2 2 m pp   0  m F0 t F0 1 cos 0t.（振荡） H ( t   ) sin   d   0 0 m 0  m 02 （2） mp2x( p)  kx( p)  F0 F0  pt  e . p p 0 F0 F0 1 e pt ， x( p)   m pp2   02  m pp2   02  0 F0 t [H (t - t ) - H (t - t0 - t )]sinwt0 dt 0 mw0 ò t t F = 0 éòH (t )sinw0 (t - t )dt - òH (t - t0 )sinw0 (t - t )dt ù ê0 ú 0 û mw0 ë F = 0 2 {(1- cosw0t) H (t) - é ë1- cosw0 (t - t0 )ù ûH (t - t0 )} mw0 x(t) = ì F0 ï mw2 (1- cosw0t) H (t) 0 t . 0ç 0 ÷ ïî mw02 2 è 2ø （3） 由于方程的系数全为实数，因此我们可以考虑初值问题 (t)  kX(t)  F ei t  mX 0 ，    X ( 0 )  0 , X ( 0 )  0  一旦求得 X (t) ，对于 f (t)  F0 cos t ， 我们取实部， x(t)  Re X (t) ； 而对于 f (t)  F0 sin t ，我们取虚部， x(t)  Im X (t) . 设 X (t)  X ( p) ，则 X ( p) 的方程为 mp2 X ( p)  kX ( p)  所以， X ( p)  F0 ， p  i F0 1 ， m p  i p2   02  如果    0 ，由卷积定理，可得 23 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU  F0  ei t ei t ei t X (t)   2   ， 2 m  0   2 0  0    2 0  0    0 因而， x(t)  Re X (t)  x(t)  Im X (t)  0 F0 cos t  cos 0t，或 m 02   2  F0     sin t   sin 0t 。 0   m    2 0 2 如果    0 （共振） ，则 x(t)  Re X (t)  F0 t sin 0t ，或 2m 0 x(t) =ImX (t) = F0 (sinw0t - w0t cosw0t). 2mw02 （4） 设 f (t)  f ( p) ，则 x( p) 的方程是 mp2x( p)  kx( p)  f ( p) ， 所 x(t) = 以 1 t 0 mw0 ò x( p)  ， f ( p) ， m p   02 1 2 f (t )sinw0 (t - t )dt . （5） 若 F i ) x(t) = 02 (1- cosw0t) (0 t0 ). 0 t0 ¥ òF e dt +tòF e e - pt 0 0 0 Wt0 - (W+p)t 0 F0We- pt dt = p(W+p) 0 F0 p [当 t0 ® ¥ 或W® 0退回到（i）] å Res pÎ C ep(t- t ) (t >t0 ) p(W+p)( p2 +w2 ) 0 e- W(t- t ) eiw(t- t ) e- iw(t- t ) = + + + (W+0)(0+w2 ) - W(W2 +w2 ) iw(i 2w)(W+iw) - iw(- i 2w)(W- iw) e0 0 0 0 1 1 e- W(t- t0 ) W- iw iw(t- t0 ) W+iw - iw(t- t0 ) = [ + e + e ]. Ww2 W2 +w2 W 2w2 2w2 24 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU a 1 1 W2 W - W(t- t ) (1 cos w t ) H ( t ) aH ( t t ){ [ e + cosw(t - t0 ) - sinw(t - t0 )]} 0 2 2 2 2 2 w w W +w w w Þ x(t) = 0 讨论：LT 不改变 0 £ t £ t0 区间的物理规律，因果律和时序性均未被破坏。 y(t)  y(t)  ty(t)  0 t 例3． 求解微分方程  (0)  0 y(0)  1; y （变系数线性微分方程，实为零阶 Bessel 方程） [解] 设 y(t)  y( p) ，由求导定理，有 y(t)  py( p)  y(0)  py( p)  1 &  y(t)  p2 y( p)  py(0)  y(0)  p2 y( p)  p . 又  ty(t)  y( p) &  t y(t)  p y( p)  p p y( p)  2py( p)  1. 2 2 因此得到 y( p) 的方程， p  1y( p)  py( p)  0. 2 1 解之得 y( p)  C p2  12 .  我们用幂级数展开的方法求原函数(*): é ù æ 1 öæ 3 ö 1 2 - ÷ç- ÷ ç ê ú æ 1ö C 1 2 2 æ1 ö y( p) =Cp- 1 ç1+ 2 ÷ = ê1+ 2 2 +è øè øç 2 ÷ +L ú p ê 1! p 2! ú è p ø èp ø ê ú ë û n ¥ (- 1) (2n)! 1 =C å . 2 n p2n+1 n=0 (2 n!) -  所以， y(t)  C  n0 1 2 (1)n 2 n! n 2 t2n ，零阶 Bessel 函数，记为 J 0 (t) . 由 y(0)  1，可定出积分常数 C  1，因此 y(t)  J 0 (t)  1 p2  1 . 25 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function p 亦可：已知， p 留数 1 1 dj J 0 (t) = òe- itsinj dj « = 定理 2p - p 2p -ò p p +i sinj - Þ y( p) = 1 p2 +1 YLMa@Phys.FDU 1 p2 +1 . Þ y(t) =J 0 (t) p (﹡) 试求 n 阶 Bessel 函数 J n (t) = 1 ei (nj - tsinj )dj 的象函数。 ò 2p - p 解： n 阶 Bessel 函数本身满足微分方程 t2J n'' (t) +tJ n' (t) +(t2 - n2 )J n (t) =0， - 由象（原）函数 J n ( p)[J n (t)] 求导定理得： ì '' 2 ' J ( t ) « p J n ( p) - pJ n (0) - J n (0) n ï ï ' í J n (t) « pJ n ( p) - J n (0) ï ï J n (t) « J n ( p) î 因而象函数满足的微分方程为： d2 2 d d2 ' 2 [ p J ( p ) pJ (0) J (0)] [ pJ ( p ) J (0)] + J ( p ) n J n n n n ( p) =0 n n n dp2 dp dp2 d2 d 2 即： 2 [(1+p ) J n ( p)] [ pJ n ( p)] - n2 J n ( p) =0 dp dp 1） n º 0 ，Eq: d [(1+p2 ) J 0 ( p)] - pJ 0 ( p) =C1 =(1+p2 ) J 0'( p) +pJ 0 ( p) dp - - 常数 C1 有限， lim pJ 0 ( p) =limJ 0 (t) =1,lim J 0'( p) =0 . p®¥ t®0 p®¥ 另外 - - pJ 0'( p) « [- tJ 0 (t)]'+(- t)J 0 (t) |t=0,lim p2 J 0'( p) =lim[- tJ 0 (t)]' =[- J 0 (t) - tJ 0' (t)]|t=0 =- 1 p®¥ - - - \ C1 =lim[ pJ 0 ( p) +(1+p2 ) J 0'( p)] =0即 p®¥ t®0 ， J 0'( p) - J 0 ( p) =- p 解 1+p2 得 - J 0 ( p) = c 1+p2 - t t ¥ J 0 ( p) 定 C： « òH (t - t )J 0 (t )dt \ limJ 0 ( p) =limòJ 0 (t )dt =òJ 0 (t )dt =1 p®0 t®¥ p 0 0 0 26 Methods of Mathematical Physics (2016.10) \ C =1,故J 0( t ) = 1 1+p2 Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU . 2） n ¹ 0 ：象函数仍满足而阶微分方程，不能简化，但可按定义来求解 p p 1 1 einj i (nj - tsinj ) J n (t) º e d j « d j º J n ( p) 2p -ò 2p -ò p p p +i sinj - z =eij ， J n ( p) = 1 zn dz - i zn+1 = dz 2 ò=1 1 Ñ ò 2p zÑ p z + 2 pz 1 - 1 iz z =1 p + (z - z ) 2 2 2 [ z +2pz - 1=(z - c1)(z - c2 ), c1,2 =- p ± 1+p ] 确定 s0 ： p J n (t) £ 1 dj =1,\ s0 =0,Re p >0 ® c1 < c2 , cc 内外 1 2 =1\ c1, c2在 z =1 2p -ò p ( 1+p2 - p)n c1n 1 ，当然 J 0 ( p) = . \ J n ( p) = 2pi = p c1 - c2 1+p2 1+p2 -i - 3 例 4：求解积分方程  (t)  t  [解] t3  3! t p 0 0 ，  () sin(t  )d   ( p) 4 于是  ( p)   4  ( p) . p2  1 6 6 p p6 3! p 解之得  ( p)  因此 t  () sin(t  )d .  4 1 ， p2  1 .  (t)  t3  6 5 3 1 5 t t  t . 5! 20 ¥ ¥ 例 5：计算定积分， I s =òsin x2dx =I c =òcos x2dx = 0 0 p 8 . ¥ 解：构造函数 j (t) =òsin(tx2 )dx ，显然 j (1) =I s . 0 x2dx 1+¥ x2dx 1 z2dz LT： j ( p) = ò 2 4 = ò 2 4 = Ñ 直接计算 p +x 2- ¥ p +x 2 òp2 +z4 0 - 由定义 ¥ 27 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 由 p2 +z4 =0, z4j =- p2,i.e.(z - zj )(z +zj )(z2 +z2j ) =0得上半平面奇点： ip i 3p z1 = pe 4 & z2 = pe 4 . 所以： 1 peip /2 pei 3p /2 pi 1 1 pi - ip 4 j ( p) = 2pi{ 3/2 i 3p /4 + 3/2 i 9p /4 }= ( ip 4 + i 3p 4 ) = e (1+e- ip 2 ) 2 4p e 4p e e 4 p e 4 p - = pi 1 p (1- i ) (1- i ) = . 4 p 2 2 2 p 所以： j (t) = p 2 2 pt ,Is = p 8 . 同理I c = p 8 . 四、点源和瞬时源  函数(Delta function) 1．  函数简介：  函数是物理学家 Dirac 首先引入的，用它来描述一切点量，如质点、点 电荷、瞬时源等。 在今天的数学中，  函数可以象其它普通函数一样进行运算，如进行微分、 积分运算，也可用来解微分方程。 但是，  函数又是一类“奇怪”的函数，按照 20 世纪前的数学概念是无 法理解的。它的严格数学理论，要涉及泛函分析(functional analysis, 泛函分析， 函数的函数)的知识。 2．  函数引入： 为了描写电量为 q 位于 x  0处的点电荷在 x 轴上的电荷分布，我们可以先 认为它均匀分布在   / 2  x   / 2范围内，而在区间   / 2,  / 2外无电荷分 布。即，引进在 x 轴上的电荷密度来描述这种分布： q    (x)   0   x x  2    q dx  q .   2 ，显然   (x)dx  2  2 为此（抽象地）引入函数 28 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function 1    (x)   0   x x   显然有 r e (x) =qde (x) 和   (x)dx  2   YLMa@Phys.FDU  2  ， 2 1  2  当   0 ，我们得到  (x)  lim (x)    0 0 dx  1. x 0 ，但是要保证 x 0  lim  (x)dx  q .  0   相似地  (x)  lim (x)    0 0  x 0 ，并且 lim  (x)dx  1.  0  x 0 3．  函数定义：  同 时 满 足  (x)   0  x 0 和   (x)dx  1的 函 数 ， 称 为  函 数 ， 记 为  x 0   (x) . 一般地，同时满足  (x  x0 )   0 x  x0  和   (x  x0 )dx  1的函数，称  x  x0 为  函数，记为  (x  x0 ) . 注意：（1）  函数 d(x) 有量纲[ 1/ x ]. （2）  函数的函数值只有在积分运算中才有意义(see below)。 4．  函数的其它定义（光滑函数！）：  函数作为广义函数的一种，它给出的不是普通的数值之间的关系，因此它 也不像普通函数那样具有唯一的、确定的表达式。 29 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function 图 1. 图 2.  (x  x0 )  lim  0 1   e YLMa@Phys.FDU 图 3. xx0 2  （图 1, Gauss 分布，统计物理）, 1 æ 1 1 ö e /p =lim ç ÷ e®0 2p i x - ie x +ie ø e®0 (x - x0 )2 +e2 è d(x - x0 ) =lim （图 2, Lorentz 分布，电动力学）, sinkx  x0  （图 3, k    x  x0   (x  x0 )  lim 光学分布，光的衍射）。  函数的最重要的积分(级数求和)表示式 [Fourier transform(series summation) for the delta function]： a ik x- x 1 limò e ( 0 )dk(积分后为上述光学分布) 2p a®¥ - a 1 ¥ ik x- x = ò e ( 0 )dk (- ¥ £ x £ ¥ 无界区间,continue variable k); 2p - ¥ 1 +¥ - i nlp ( x- x0 ) = å e (- l £ x £ l有界区间,dicrete variable n). 2l n=- ¥ d (x - x0 ) = 当l ® ¥ ， ¥ np p p p 1 ¥ 1 ® k, (n +1) - n = ® dk， å ® dk. l l l l 2l n=- ¥ 2p -ò ¥ 5．  函数的导数：  x  x0 的导数  x  x0 定义为：对于在 x  x0 处具有连续导数的缓变函数 f (x) ，如果  x  x0 满足(当作一般函数) ¥ ¥ -¥ x=- ¥ ò f (x)d¢(x- x0 )dx =ò f (x)dd (x - x0 ) ¥ ¥ = f (x)d (x - x0 ) - ¥ - ò f ¢(x)d (x - x0 )dx -¥ =- f ¢(x0 )[see below 6(1)] 则称  x  x0 为  x  x0 的导数。  相 似 地 ， 如 果  (n) x  x0 满 足  f (x) (n) x x0 dx   1 f (n) (x0 ) ， 则 称 n   (n) x  x0 为  x  x0 的 n 阶导数。 6．  函数的性质： 30 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU  （1） 对任意在   ,  上的连续函数 f (x) ，  f (x) (x  x0 )dx  f (x0 ) .  这也称为  函数的挑选性,亦可认为是  函数的定义. (X) 证明：对任意小   0 (引入  函数时之 e / 2 ® 0 )，  x0     f (x) (x  x0)dx   x0  f (x) (x  x0 )dx   f (x) (x  x0 )dx x0     f (x) (x  x0 )dx x0  上式右边第一、三项积分为零，对第二项积分用中值定理，有 x0 +e ¥ x0 +e ò f (x)d(x- x )dx =òx e f (x)d(x- x )dx = f (x)òx e d(x- x )dx = f (x) -¥ 0 0 0- 0 0- 其中，   x0  , x0  . 令   0 ，即 ¥ ò f (x)d(x- x )dx = f (x ).说明：此式也可以作为  函数的定义式。 -¥ 0 0 （2）  (x) 是偶函数，  (x) 是奇函数:  (x)   (x) ,  (x)   (x) .   x ' x x x (X) 证明：因为对任意的连续缓变函数 f (x) ，有      f (x) (x)dx   f (x) (x)dx  f (0) . ¥ ¥ -¥ x=- ¥ ò f (x)d¢(- x)dx =- ò ¥ ¥ f (x)dd (- x) =- f (x)d (- x) - ¥ +ò f ¢(x)d (- x)dx -¥ ¥ ¥ -¥ -¥ = f ¢(0) =- ò f (x)d¢(x)dx =ò f (x) é ë- d¢(x)ù ûdx. （3） x (x)  0 , x (x)   (x) .（发散性弱于 1/ x ） (X) 证明：因为对任意的连续缓变函数 f (x) ，有 ¥ ò f (x)xd(x)dx =[ f (x)x] x =0. -¥ =0 因为对任意的在 x  0处具有连续导数的缓变函数 f (x) ，有 31 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function ¥ ¥ -¥ x=- ¥ ò f (x)xd¢(x)dx =ò YLMa@Phys.FDU f (x)xdd (x) ¥ ¥ = f (x)xd (x) - ¥ - ò [xf ¢(x) + f (x)]d (x)dx -¥ ¥ ¥ -¥ -¥ =- ò f '(x)xd (x)dx - ò f (x)d (x)dx ¥ =ò f (x) é ë- d (x)ù ûdx -¥ 其中利用了 x (x)  0 . （4）对于在 x  x0 处连续的缓变函数 f (x) 和 j (x) 有 f (x) x  x0  f (x0 ) x  x0 . 证明：因为对任意的连续缓变函数 f (x) ，有       (x) f (x) (x  x0)dx   (x0) f (x0)    (x) f (x0) (x  x0)dx . （5） dH (x)   (x) . dx x ì 1 x >0 证明：Q ò d(t)dt =í º H (x) (Heavside step function), -¥ î 0 x <0 g( x) Q(x) =ò G(t)dt, Q '(x) =g '(x)G[g(x)] - f '(x)G[ f (x)], 所以得证。 f ( x) (X)（6）  (t  ) (  0) 的 Laplace 变换 ¥ d(t - t ) « ò d(t - t )e- ptdt =e- pt , Re p  0. 0  x  xk  .  xk  k (X)（7）设  (x)  0的实根 xk 全是单根，则   x   证明：按照定义，   (x)  0  x 0 ，  x 0 既然  (x)  0的实根 xk 全是单根，那么，   x  ck x  xk ， k 现在确定这些系数 ck ，在第 n 个根 xn 附近取小区间 xn  , xn  ，  是如此小，使得在这区间无其它根，在这区间上积分， xn  xn    xdx   ck   (x  xk )dx ， xn  上式左边积分 k xn  xn   xn   n n d x 1 x   xdx   x  x (x)   (xn ) ，因为  (x) 32 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 的实根全是单根，因此 j ¢(xn ) ¹ 0. 式中的绝对值符号是考虑到  (xn )  0 的可能性。在  (xn )  0 的情况下，  (xn  )   (xn  ) ，应调换积分的上、 下限，这就引入了一个负号，因此积分结果仍为正。而对上式的右边,除 xn  k  n 外均为零(此区间只有单根 xn ),即  ck   (x  xk )dx  cn ,由此得到， k cn  xn   x  xk  1 . 所以   x  .  (xn )  xk  k 特例：（1）  (ax)   (x) a a  0；   (x  a)2a (x  a)   (x  a)2x (x  a) a  0  （2）  x2  a2     (xx) . 当 a  0 时，  x2  （8）物理上, 连续分布的物理量（如质量、电荷、持续的作用力等）也 b 可以用  函数表示： f (t)   f () (t  )d . a 理解：我们可以把 a, b分成许多小段，在每一小段内，可以把它们 看作点量(用  函数表示)，然后把这些点量加起来(即积分)，就是连 续分布的物理量—Green 函数亦有此作用 (See Chapter 14)。   7．多维  函数定义：三维  函数  r  r   x  x' y  y' z  z'的定义 为：满足方程 ¥ ¥ ¥ -¥ -¥ -¥ ò ò ò f (x, y, z)d (x- x¢)d ( y - y¢)d (z - z¢)dxdydz = f (x', y', z') 的函数[其中 f (x, y, z) 是在点 x', y', z'连续的函数]。 Fourier transforms in 3D and 3+1D for the delta functions： r r r r ¥ 1 r r d (r - r ') =( )3 ò eik×(r - r ')d3k ; 2p - ¥ 1 4 ¥ ikr×(rr - rr ')- iw(t- t') 3 r r r d (r - r ',t - t ') =( ) ò e d kdw. 2p - ¥ r r r r r 3 ik× k ×r =å i =1kr , e (r - r ')- iw(t- t') , ±i : 因果律关系要求。 i i 33 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 8．  函数的应用举例： x&(t) +kx(t) = f (t), ì m& 例1． 求解微分方程 í &(0) =0. î x(0) =0, x [解] 先设外力是瞬时力，其大小为 F0 ，即 f (t)  F0 (t  ) (  0) . 利用 Laplace 变换求解初值问题 x(t,)  kx(t,)  F0 t    m ，  (t,) t0  0  x(t,) t0  0, x mp2x( p,)  kx( p,)  F0e p ， 设 x(t,)  x( p,) ，则 x( p,) 的方程是 所以， x( p)  F0 0 k . 因此，由延迟定理得， e p ，其中  0  2 2 m 0 p   0 m x(t,)  F0 sin 0 (t  )H (t  ) 。 m 0 因为持续作用力可以看作许许多多瞬时力的相继作用，如果这种瞬时力的  作用时刻是  ，大小是 f () ，即 f (t)   f () (t  )d . 0 既然外力是瞬时力 f () (t  ) ，位移为 x(t,)  1 f () sin 0 (t  )H (t  ) ， m 0 那么在一般外力 f (t) 的作用下，其位移应是上式的迭加，即 ¥ x(t) =ò x(t,t )dt = 0 = 1 t 0 mw0 ò 1 ¥ 0 mw0 ò f (t )sinw0 (t - t )H (t - t )dt f (t )sinw0 (t - t )dt . 2 2 2  2     例2． 证明  称为 Laplace  4(r ) ，其中， x2 y2 z2 r 2 1  算符， r  x2  y2  z2 ，  (r )   (x) ( y) (z) . 证明：当 r  0 时，直接微商可得，  1 x ,  3 x x2  y2  z2 2 2 2 2 x y z   34 Methods of Mathematical Physics (2016.10) 2 x2 1   3x2  x2  y2  z2 5 2 2 YLMa@Phys.FDU ， x  y  z  1 3y  x  y  z  ,  x y z x  y  z  1 3z  x  y  z  ，  x y z x  y  z  x2  y2  z2 2 y2 同理 Chapter 6 Laplace transform and delta function 2 2 2 2 2 z2 2 2 2 2 所以证得，  2 1 r 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2  0 r  0.    1 当 r  0 时，不能直接微商，应该证明     2 dxdydz  4 . r    1 r 我们知道（see 第 12 章） Ñ2r = 2 ¶r (r 2¶r ), d3r =r 2drdW, 所以 r Ñ 1 2 1 r 2 +a2 2 = 2 ¶r [r ¶r r 1 r 2 +a2 -1 ] = 2 ¶r r ¥ ¥ ¥ 21 2 Ñ d x d y d z = lim òòò òòòÑ ¥ ¥ ¥ -¥ -¥ -¥ r 1 r 2 +a2 3a2 a®0 - ¥ - ¥ - ¥ 2p p ¥ =- limò òò a®0 0 0 0 (r +a ) 2 a®0 0 (r +a ) 2 dxdydz 2 5/2 a2 ¥ =- 12p limò r3 - 3a2 = . (r 2 +a2 )3/2 (r 2 +a2 )5/2 2 5/2 r 2sinqdrdqdj r 2dr. 令 x  r / a ，即可证明上面的积分与 a 无关，再令 x  tan ，即得 ¥ 1 ò ò ò Ñ dxdydz =- 12p ò ¥ ¥ ¥ -¥ -¥ -¥ r 0 p p x2 2 (x +1) 5/2 2 dx =- 12p ò 2 J =0 tan2 J (tan J +1) 2 5/2 d(tanJ ) p =- 12p ò sin J cosJ dJ =- 4p ×sin J 2 =- 4p. 2 0 2 3 0 r 物理上，设坐位原点处放置一个点电荷 q, 其密度为 r =qd(r ). 已知电势 r r r 场为 G(r ) =q / 4pe0r, 电场满足 Ñ×E =r / e0, 并且 E =- ÑG, 即 Ñ2G =- r / e0. r 1 v 故 Ñ2 =- 4pd(r ). G(r ) 为点源的 Green 函数。 对于无界空间任意电荷密度分 r r r r r 布 r (r ), 其电势场 j (r ) 满足柏松方程： Ñ2j (r ) =- r (r ) / e0. 这个方程的解就是 r 1 r (r¢) r r r r r 上述 Green 函数的叠加： j (r ) =òG(r - r¢)r (r¢)dr¢= r r dr¢(See Chapter 4pe0 ò| r - r¢| r 14). 35 Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 8.2: Hermite 方程的积分形式解[1],并且只有当 l / 2 =2n 或者2n +1时，这 个解才是 x2n或者x2n+1 阶的多项式-Hermite 多项式[2]。 解: 量子力学里，对于以质量和能量分别为 m 和 E 的粒子，放在 1D 谐振势场中， 方向 X 轴，其运动服从如下的 Schrodinger 方程： ì h2 d2y ( X ) 1 + mw2 X 2y ( X ) =Ey ( X ), ï2 2 í 2m dX ï y (±¥ ) =0, y ¢(±¥ ) =0, (物理要求). î (- ¥